STATISTIKA

STATISTIKA

Download File

STATISTIKA.docx

 keyword :

 pokok bahasan 1 pendahuluan 2 distribusi frekuensi 3 penyajian grafik 4 pengukuran nilai sentral dan variasi 5 teori probabilitas 6 distribusi binomial dan distribusi normal 7 distribusi sampling 8 teori estimasi 9 pengujian hipotesis 10 teori sampel kecil 11 chi kuadrat 12 regresi linear dan korelasi sumber bacaan budiyati e s wahyuningsih dan a andrin 2007 aplikasi larutan aloe vera l pada penyimpanan tiga varietas buah anggur badan penelitian tanaman jeruk dan buah subtropika tlekung dayan a 1974 pengantar metode statistika jilid i lpes jakarta nasution a.h dan barizi 1980 metode statistika untuk penarikan kesimpulan gramedia jakarta suntoyo yitno sumarto 1990 dasar-dasar statistika dengan penekanan terapan dalam bidang agrokompleks teknologi dan sosial rajawali jakarta supranto j 2000 statistik teori dan aplikasi jilid 1 erlangga jakarta sutrisno hadi 1981 statistika jilid ii fakultas psikologi universitas gadjah mada yogyakarta sutrisno hadi 1989 metodologi research jilid iii andi offset yogyakarta page 2 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 2disusun oleh endang dewi murrinie i pendahuluan a pengertian statistika istilah statistika mempunyai dua macam pengertian yaitu pengertian dalam arti sempit dan dalam arti luas statistika dalam arti sempit berarti data ringkasan berbentuk angka kuantitatif misal statistika penduduk misalnya adalah data atau keterangan berbentuk angka ringkasan mengenai penduduk jumlah rata-rata umur persentase yang buta huruf statistika kepegawaian jumlahnya umur rata-rata masa kerja tingkat pendidikan dan sebagainya statistika dalam arti luas berarti ilmu yang mempelajari cara pengumpulan pengolahan pengelompokkan penyajian dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh definisi ini lebih ditekankan kepada urutan kegiatan dalam memperoleh data sampai data tersebut berguna untuk dasar pembuatan keputusan jadi bila seseorang memerlukan data untuk pengambilan keputusan maka data tersebut harus dikumpulkan diolah disajikan dan dianalisis kemudian diambil kesimpulannya yang perlu ditekankan adalah bahwa metode pengumpulan data secara statistika sangat efisien karena menghemat tenaga biaya serta waktu dan yang penting bisa diperoleh dengan tingkat ketelitian yang tinggi statistika tidak hanya berguna untuk keperluan rutin dan dasar pengambilan keputusan saja tetapi juga memberikan teori atau metode yang sangat berguna untuk perkembangan ilmu lainnya melalui penelitian statistika juga memberikan metode untuk melakukan peramalan yang digunakan sebagai dasar perencanaan dan metode pengujian hipotesis yang sangat berguna untuk penelitian dan pengambilan keputusan dalam rangka memecahkan masalah atau secara teknik metodologi berarti cara-cara ilmiah yang dipersiapkan untuk mengumpulkan menyusun menyajikan dan menganalisis data penelitian yang berwujud angka-angka lebih jauh lagi statistika diharapkan dapat menyediakan dasar-dasar yang dapat dipertanggungjawabkan untuk menarik kesimpulan yang benar dan untuk pengambilan kesimpulan yang baik b landasan kerja statistika statistika menggunakan tiga jenis landasan kerja yang pokok yaitu 1 variasi 2 reduksi dan 3 generalisasi landasan kerja variasi didasarkan atas kenyataan bahwa seorang peneliti selalu menghadapi gejala yang bermacam-macam gejala-gejala yang bervariasi baik dalam jenisnya maupun dalam tingkatan besar kecilnya landasan kerja yang kedua memberi kesempatan kepada peneliti untuk meneliti hanya sebagian dari seluruh gejala atau kejadian yang akan diteliti penelitian semacam ini dikenal dengan sebutan penelitian sampling sampling study meskipun penelitian dilakukan hanya terhadap sebagian dari keseluruhan gejala atau kejadian namun kesimpulan hasil penelitian akan diperuntukkan bagi keseluruhan dari mana sebagian gejala atau kejadian itu diambil proses atau tata kerja semacam ini disebut generalisasi c ciri-ciri pokok statistika statistika mempunyai tiga macam ciri pokok yaitu 1 statistika bekerja dengan angka-angka angka dalam statistika mempunyai dua arti yaitu a angka sebagai jumlah yang menunjukkan jumlah atau frekuensi dan b angka yang menunjukkan nilai atau harga dalam arti yang terakhir ini angka mewakili atau mensimbulkan sesuatu kualitas misalnya angka kecerdasan tingkat serangan hama nilai sekolah 2 bersifat objektif page 3 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 3disusun oleh endang dewi murrinie statistika menutup pintu bagi masuknya unsur-unsur subyektif yang dapat menyulap keinginan menjadi kenyataan atau kebenaran statistika sebagai alat penilai kenyataan tidak dapat berbicara lain kecuali fakta yang ada 3 bersifat universal statistika dapat digunakan untuk membantu penelitian hampir semua bidang ilmu baik eksakta maupun sosial aplikasi statistika dalam ilmu tertentu sudah begitu maju sehingga kadang-kadang memerlukan teknik-teknik yang berlainan untuk pemecahan persoalan yang berbeda misal statistika yang diterapkan dalam ilmu ekonomi disebut ekonometrik dalam biologi disebut biometrik dalam sosiologi disebut sosiometrik d data statistika 1 syarat data yang baik data yang salah apabila digunakan sebagai dasar pengambilan keputusan akan menghasilkan keputusan yang salah persyaratan data yang baik antara lain obyektif representatif mewakili memiliki kesalahan baku yang kecil tepat waktu dan relevan obyektif berarti bahwa data harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya representatif berarti mewakili seluruh gejala atau kejadian yang akan diteliti atau mewakili obyek yang diteliti suatu perkiraan estimasi dikatakan baik mempunyai tingkat ketelitian yang tinggi apabila kesalahan bakunya kecil ketiga syarat diatas sering disebut syarat data yang dapat diandalkan reliable sedangkan syarat tepat waktu dan relevan lebih menunjukkan manfaat atau kegunaannya syarat tepat waktu penting agar dapat dilakukan penyesuaian atau koreksi seperlunya bila ada kesalahan atau penyimpangan yang terjadi di dalam implementasi suatu perencanaan relevan berarti data yang dikumpulkan harus ada hubungannya dengan masalah yang akan diteliti 2 pembagian data data dapat dikelompokkan antara lain menurut sifat sumber cara memperoleh dan waktu pengumpulan data menurut sifatnya dibedakan menjadi data kualitatif dan data kuantitatif data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka nonnumeris misalnya tingkat serangan hama serangan berat sedang ringan data kuantitatif adalah data yang dinyatakan dalam bentuk angka misalnya jumlah tanaman terserang hama berat biji per tanaman data menurut sumber perolehannya dibedakan menjadi data internal dan data eksternal data internal adalah data yang bersumber dari keadaan atau kegiatan sendiri misal tinggi tanaman dari penelitian produktivitas padi pada sepetak lahan data eksternal adalah data yang bersumber dari luar misal pada penelitian produktivitas padi tersebut dibutuhkan data curah hujan selama penelitian yang didapatkan dari stasiun pengamat cuaca setempat data menurut cara memperolehnya dibedakan menjadi data primer dan data sekunder data primer adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri data sekunder adalah data yang diperoleh dan telah diolah oleh pihak lain biasanya dalam bentuk publikasi data menurut waktu pengumpulannya dibedakan menjadi data cross section dan data berkala times series data cross section adalah data yang dikumpulkan dalam suatu periode tertentu yang menggambarkan keadaan atau kegiatan pada saat itu misal data rata-rata produksi padi pada tahun 1990 data tinggi tanaman padi umur 4 mst minggu setelah tanam data times series atau data berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan perkembangan page 4 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 4disusun oleh endang dewi murrinie suatu kegiatan dari waktu ke waktu misalnya data rata-rata produksi padi tahun 1990 – 1995 data tinggi tanaman padi mulai 2 mst – 8 mst 3 pengumpulan data statistika merupakan pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan pengolahan penyajian dan analisis data serta pengambilan kesimpulan dari definisi tersebut pengumpulan merupakan tahap awal dari kegiatan statistika agar kesimpulannya benar maka data yang dikumpulkan harus benar ada dua cara pengumpulan data yaitu sensus dan sampling sensus adalah tahapan pengumpulan data dimana seluruh anggota populasi diselidiki satu persatu populasi adalah kumpulan anggota sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain sampel atau contoh adalah sebagian dari populasi dimana pengamatan atau pengukuran akan dilakukan sampel populasi sampling adalah cara pengumpulan data dimana yang diselidiki adalah sebagian anggota dari populasi data yang diperoleh dari sampel merupakan data perkiraan estimate value jika nilai yang dihitung dari seluruh anggota populasi disebut parameter maka nilai yang dihitung dari sampel disebut statistik dibandingkan dengan sensus cara sampling membutuhkan biaya lebih sedikit waktu lebih singkat tenaga tidak terlalu banyak dan dapat menghasilkan cakupan data yang lebih luas pada dasarnya ada dua cara pengambilan sampel yaitu cara acak random dan bukan acak non random cara acak adalah suatu cara pemilihan sejumlah anggota populasi untuk menjadi anggota sampel dimana pemilihannya sedemikian rupa sehingga setiap anggota mendapat kesempatan yang sama untuk terambil sebagai sampel caranya bisa menggunakan undian atau dapat juga dengan tabel bilangan acak daftar angka yang sudah dibuat sedemikian rupa sehingga kalau dipergunakan akan menjamin pemilihan secara acak cara ini dianggap obyektif karena netral samplingnya disebut probability sampling yaitu setiap anggota mempunyai probabilitas kemungkinan yang sama untuk dipilih cara bukan acak adalah suatu pemilihan anggota-anggota dari populasi untuk menjadi sampel dimana setiap anggota tidak mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih samplingnya disebut sebagai nonprobability sampling artinya setiap anggota tidak mempunyai probabilitas yang sama untuk dipilih hal yang perlu diketahui adalah bahwa hanya dengan probability sampling yang sifatnya acak kita dapat menggunakan metode analisis statistika menguji hipotesis membuat perkiraan estimasi interval serta dapat memperkirakan besarnya kesalahan perkiraan dengan demikian memungkinkan kita untuk memperkirakan besarnya resiko ketidakpastian dalam proses pengambilan keputusan setelah metode pengumpulan data ditentukan berikutnya adalah menentukan alat untuk memperoleh data dari obyek yang akan diteliti ada beberapa cara untuk mengumpulkan data yaitu melalui daftar pertanyaan kuisioner wawancara dan observasi atau pengamatan langsung data yang dikumpulkan untuk analisis tidak meliput pengamatan yang semuanya sama data yang dihitung atau diukur untuk keperluan analisis akan memperlihatkan variasi nilai suatu variabel – yaitu ciri karakteristik yang menunjukkan variasi variabel atau peubah adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah atau berbeda misalnya tinggi tanaman kedelai karakteristik tinggi tanaman kedelai akan berubah-ubah menurut waktu atau berbeda-beda menurut tempat hasil tanaman harga pendapatan temperatur dan lain sebagainya notasi untuk menunjukkan suatu variabel dipergunakan huruf latin misal x y z suatu variabel dengan nilai yang dapat dihitung atau terbatas disebut variabel diskrit misal jumlah daun per tanaman jumlah tanaman terserang hama jumlah gulma per petak variabel dengan nilai tidak terbatas yang dapat diukur dan dicatat sampai pada suatu tingkatan ketepatan yang diperlukan disebut variabel kontinu tinggi tanaman bobot biji per petak page 5 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 5disusun oleh endang dewi murrinie 4 pengorganisasian data setelah data terkumpul kemudian dilakukan pengorganisasian data dengan skema sebagai berikut tidak ya gambar 1 skema pengorganisasian data b metodologi pemecahan masalah secara statistika langkah-langkah dasar dalam pemecahan masalah secara statistika adalah 1 mengidentifikasi masalah 2 mengumpulkan fakta atau data yang relevan terhadap permasalahan 3 mengklasifikasikan dan mengikhtisarkan data setelah data terkumpul langkah selanjutnya adalah mengorganisasikan atau mengelompokkan data untuk tujuan penelaahan mulai kumpulkan data mentah organisasikan data mentah apakah data sebaiknya disederhanakan siapkan distribusi frekuensi siapkan penyajian grafik hitung ukuran untuk menggambarkan karakteristik kelompok data rata-rata median modus varian simpangan baku analisis karakteristik yang sedang ditelaah selesai page 6 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 6disusun oleh endang dewi murrinie 4 menyajikan data dalam bentuk tabel grafik dan ukuran kuantitatif yang penting rata-rata median modus simpangan standar standar deviasi yang bertujuan agar lebih informatif dan mudah dipahami 5 menganalisis data menginterpretasikan hasil dari langkah-langkah sebelumnya untuk menarik kesimpulan secara statistik dengan menggunakan ukuran deskriptif yang telah dihitung page 7 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 7disusun oleh endang dewi murrinie ii distribusi frekuensi untuk dapat memahami data dengan mudah maka baik data kualitatif maupun data kuantitatifharus disajikan dalam bentuk yang ringkas dan jelas salah satu cara untuk meringkas data adalah dalam bentuk distribusi frekuensi yaitu pengelompokan data ke dalam beberapa kelompok kelas dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk ke dalam tiap kelas a distribusi frekuensi data kualitatif berikut ini adalah data kualitatif 60 orang petani penanam kedelai dari lima varietas berbeda dari data tersebut kita kesulitan untuk mengetahui dengan cepat varietas yang paling banyak ditanam petani untuk mejawab pertanyaan tersebut maka datanya perlu disajikan dalam distribusi frekuensi tabel 2.1 data 60 orang petani penanam kedelai dari beberapa varietas tidar kerinci tidar wilis kerinci tidar wilis tidar pangrango kerinci tidar slamet kerinci slamet tidar wilis tidar pangrango slamet wilis kerinci pangrango slamet tidar pangrango wilis wilis kerinci wilis tidar wilis kerinci tidar wilis tidar kerinci wilis pangrango slamet tidar wilis pangrango tidar pangrango wilis tidar pangrango wilis kerinci slamet pangrango wilis kerinci tidar tidar kerinci tidar pangrango tidar kerinci tabel 2.2 distribusi frekuensi petani penanaman varietas kedelai no varietas frekuensi petani frekuensi relatif petani frekuensi persentase petani 1 2 3 4 5 tidar wilis kerinci slamet pangrango 18 14 12 6 10 jumlah 60 1 00 100 distribusi frekuensi relatif dan persentase data kualitatif distribusi frekuensi menunjukkan jumlah atau banyaknya item dalam setiap kategori atau kelas meskipun demikian kita sering tertarik untuk mengetahui proporsi atau persentase item dalam setiap kelas frekuensi relatif dari suatu kelas adalah proporsi item dalam setiap kelas terhadap jumlah keseluruhan item dalam data tersebut jika sekelompok data memiliki n observasi maka frekuensi relatif dari setiap kategori atau kelas adalah sebagai berikut frekuensi kelas frekuensi relatif dari suatu kelas n page 8 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 8disusun oleh endang dewi murrinie sedangkan frekuensi persentase dari suatu kelas adalah frekuensi relatif kelas tersebut dikalikan dengan 100 distribusi frekuensi relatif adalah ringkasan dalam bentuk tabel dari sekelompok data yang menunjukkan frekuensi relatif bagi setiap kelas distribusi frekuensi persentase adalah ringkasan dalam bentuk tabel dari sekelompok data yang menunjukkan frekuensi persentase bagi setiap kelas hasil perhitungan frekuensi relatif dan frekuensi persentase tabel 2.2 dapat dilihat pada tabel 2.3 tabel 2.3 distribusi frekuensi relatif dan persentase petani penanaman varietas kedelai no varietas frekuensi relatif petani frekuensi persentase petani 1 2 3 4 5 tidar wilis kerinci slamet pangrango 0 30 0 23 0 20 0 10 0 17 30 23 20 10 17 jumlah 1 00 100 b distribusi frekuensi data kuantitatif definisi distribusi frekuensi untuk data kualitatif berlaku juga untuk data kuantitatif tetapi pada distribusi frekuensi data kuantitatif ada tiga hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kelas yaitu jumlah kelas lebar kelas dan batas kelas serta titik tengah kelas tanda kelas 1 jumlah kelas banyaknya kelas sebaiknya antara 7 dan 15 atau paling banyak 20 jumlah kelas lebih dari 20 akan memberi gambaran yang sangat jelas tentang ciri-ciri individu tetapi tidak menunjukkan dengan tajam karakteristik grup sebaliknya jika jumlah kelas kurang dari 5 gambaran tentang karakteristik grup akan sangat menonjol tetapi ciri-ciri individu menjadi kabur sama sekali h.a sturges 1926 mengemukakan suatu rumus untuk menentukan banyaknya kelas sebagai berikut k 1 3 322 log n dimana k banyaknya kelas n banyaknya observasi misal data dengan n 100 maka banyaknya kelas adalah sebagai berikut k 1 3 322 log 100 1 3 322 2 1 6 644 7 644 jadi banyaknya kelas sebaiknya 7 – 8 2 interval kelas lebar kelas disarankan interval atau lebar kelas adalah sama untuk setiap kelas pemilihan interval kelas dan jumlah kelas tidak independen semakin banyak kelas berarti semakin kecil interval kelas dan sebaliknya untuk menentukan interval atau lebar kelas digunakan rumus xn – x1 i dimana i interval atau lebar kelas k k banyaknya kelas page 9 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 9disusun oleh endang dewi murrinie xn nilai observasi terbesar x1 nilai observasi terkecil untuk memudahkan analisis pilih lebar kelas yang merupakan bilangan ganjil gasal seperti 1 3 5 7 dst atau jika mungkin ambil bilangan-bilangan kelipatan 5 seperti 5 10 15 20 dst.nya 3 batas kelas batas kelas adalah nilai batas dari tiap kelas dalam sebuah distribusi dan dipergunakan sebagai pedoman guna memasukkan angka-angka hasil observasi ke dalam kelas-kelas yang sesuai tiap kelas mempunyai dua batas kelas yaitu batas bawah kelas dan batas atas kelas untuk memudahkan pekerjaan dalam menentukan batas-batas kelas diambil ketentuan batas bawah kelas adalah bilangan kelipatan interval lebar kelas kelipatan i batas nyata adalah bilangan-bilangan yang membatasi kelasnya dengan kelas- kelas lainnya batas nyata diperoleh dari jumlah-jumlah bilangan batas yang berdekatan dibagi dua 4 titik tengah kelas tanda kelas titik tengah kelas atau tanda kelas diperoleh dari penjumlahan batas atas dan batas bawah suatu kelas dibagi dua untuk keperluan perhitungan-perhitungan statistika semua observasi yang termasuk dalam suatu kelas dipandang diwakili oleh titik tengah kelas tata kerja membuat tabel distribusi frekuensi data kuantitatif 1 menyiapkan blanko tabulasi sebagai berikut x jari-jari f ............................. ............................. ............................. ............................................. ............................................. ............................................. ................. ................. ................. x interval kelas jari-jari untuk menghitung frekuensi kelas f untuk menyalin frekuensi dalam bentuk jari-jari ke dalam bentuk angka 2 mencari angka pengamatan tertinggi dan terendah kemudian kurangkan beda antara angka tertinggi dan terendah disebut range atau jarak nilai 3 bagi range menjadi sejumlah kelas yang layak antara 5 dan 20 untuk memudahkan analisis pilih interval kelas gasal ganjil atau jika mungkin ambil bilangan kelipatan 5 4 masukkan angka-angka pengamatan dalam kolom jari-jari dengan turus jari-jari pada kelas-kelas yang sesuai 5 hitung jari-jari dalam kolom kedua tersebut dan salin dalam bentuk angka dalam kolom ketiga kolom f jumlah seluruh angka dalam kolom f harus sesuai dengan jumlah seluruh individu yang diamati 6 ganti blanko tabulasi dengan tabel distribusi frekuensi yang sebenarnya dalam tabel distribusi frekuensi kolom jari-jari tidak diperlukan page 10 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 10disusun oleh endang dewi murrinie contoh tabel 2.4 hasil padi kering per hektar dalam kuintal dari 100 desa 71 29 64 118 74 86 53 38 70 64 48 39 78 72 33 64 41 36 78 58 60 42 96 48 43 39 63 71 43 69 39 72 120 102 26 86 39 28 64 61 78 82 78 96 38 63 71 43 53 86 56 83 103 64 64 78 96 54 48 50 112 136 48 73 63 63 123 62 36 58 108 27 73 42 71 54 28 96 81 63 67 48 100 62 48 62 71 72 63 71 83 28 28 43 39 38 36 83 62 60 distribusi frekuensi relatif adalah ringkasan dalam bentuk tabel dari sekelompok data yang menunjukkan frekuensi relatif bagi setiap kelas distribusi frekuensi persentase adalah ringkasan dalam bentuk tabel dari sekelompok data yang menunjukkan frekuensi persentase bagi setiap kelas distribusi frekuensi kumulatif frekuensi kumulatif dari suatu kelas adalah frekuensi yang dihitung secara meningkat ke atas dari frekuensi kelas yang terbawah sampai kelas yang bersangkutan suatu tabel yang berisi frekuensi kumulatif disebut tabel frekuensi kumulatif frekuensi kumulatif dari kelas yang teratas harus sama dengan jumlah frekuensi dalam distribusi latihan suatu penelitian dilakukan terhadap 100 usaha kecil dan menengah salah satu karakteristik yang ditanyakan adalah besarnya modal yang dimiliki perusahaan-perusahaan tersebut kalau x adalah modal dalam jutaan rupiah maka nilai x adalah sebagai berikut 75 86 66 86 50 78 66 79 68 60 80 83 87 79 80 77 81 92 57 52 58 82 73 95 66 60 84 80 79 63 80 88 58 84 96 87 72 65 79 80 86 68 76 41 80 40 63 90 83 94 76 66 74 76 68 82 59 75 35 34 65 63 85 87 79 77 76 74 76 78 75 60 96 74 73 87 52 98 88 64 76 69 60 74 72 76 57 64 67 58 72 80 72 56 73 82 78 45 75 56 a berapa perusahaan yang memiliki modal antara rp 30 – rp 39 juta dan berapa yang memiliki modal antara rp 90 – rp 99 juta b berapa persen perusahaan yang modalnya antara rp 90 – rp 99 juta c berapa perusahaan yang modalnya kurang dari rp 79 juta page 11 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 11disusun oleh endang dewi murrinie iii penyajian grafik seringkali untuk keperluan analisis selain dibuat tabel frekuensi juga dibuat tabel frekuensi relatif dan kumulatif kemudian dibuat grafiknya grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupa angka mungkin juga dengan simbol-simbol yang biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang telah dibuat grafik berupa gambar pada umumnya lebih mudah diambil kesimpulannya secara cepat daripada tabel itulah sebabnya data seringkali disajikan dalam bentuk grafik bentuk grafik yang dapat digunakan antara lain adalah grafik batang histogram poligon frekuensi poligon a grafik batang histogram misal histogram grafik batang untuk data berikut tabel 3.1 distribusi frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi f frekuensi relatif prosentase frekuensi frekuensi kumulatif 30 – 39 2 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 20 70 – 79 32 80 – 89 25 90 – 99 7 jumlah 100 0 5 10 15 20 25 30 35 34.444.554.564.574.584.594.5 frekuensi gambar 3.1 histogram modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah contoh lain histogram grafik batang tunggal adalah untuk data di bawah ini tabel 3.2 produksi kacang tanah indonesia tahun 1993 – 1997 ribu ton no tahun produksi ribu ton 1 1993 638 7 2 1994 631 9 3 1995 760 1 4 1996 737 8 5 1997 688 3 page 12 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 12disusun oleh endang dewi murrinie 0 100 200 300 400 500 600 700 800 19931994199519961997 produksi gambar 3.2 histogram produksi kacang tanah indonesia tahun 1993 – 1997 ribu ton selain grafik batang tunggal seringkali diperlukan grafik batang ganda untuk menunjukkan data berkala atau data dua arah sebagaimana contoh pada tabel 3.3 berikut ini tabel 3.3 pengeluaran per kapita penduduk indonesia menurut jenis pengeluaran 1990 – 1996 persen jenis pengeluaran 1990 1993 1996 makanan pokok makanan lainnya makanan jadi bukan makanan 16 63 35 33 7 09 40 92 14 67 34 51 7 68 43 14 13 45 33 34 8 48 44 73 total 100 00 100 00 100 00 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 199019931996 makanan pokok makanan lainnya makanan jadi bukan makanan gambar 3.3 histogram produksi kacang tanah indonesia tahun 1993 – 1997 ribu ton b grafik poligon grafik poligon adalah grafik yang dibuat dengan menghubungkan titik-titik pengamatan dengan menggunakan garis lurus contoh adalah poligon untuk data pada tabel 3.1 diatas page 13 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 13disusun oleh endang dewi murrinie 0 5 10 15 20 25 30 35 34.544.554.564.574.584.594.5 frekuensi gambar 3.4 poligon frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah c ogive ogive adalah grafik yang dibuat untuk distribusi frekuensi kumulatif sebagai contoh adalah frekuensi kumulatif untuk data yang berasal dari tabel 3.1 tabel 3.4 frekuensi kumulatif modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi frekuensi kumulatif kurang dari 40 2 2 kurang dari 50 3 5 kurang dari 60 11 16 kurang dari 70 20 36 kurang dari 80 32 68 kurang dari 90 25 93 kurang dari 100 7 100 jumlah 100 gambar 3.5 poligon frekuensi ogive modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah 0 20 40 60 80 100 120 405060708090100 frekuensi kumulatif page 14 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 14disusun oleh endang dewi murrinie iv pengukuran nilai sentral dan variasi a pengukuran nilai sentral ukuran pemusatan untuk mengadakan deskripsi sesuatu grup kelompok kita dapat mencari suatu bilangan yang dapat mewakili grup itu misal bilangan rata-rata nilai sentral adalah suatu bilangan yang menunjukkan tendensi menjadi pemusatan sentral dari bilangan- bilangan lainnya dalam distribusi bilangan-bilangan sentral yang sering digunakan adalah rata-rata hitung arithmetic mean atau sering disingkat mean saja median dan modus 7 rata-rata hitung mean rata-rata hitung yang selanjutnya disingkat sebagai rata-rata sering digunakan sebagai dasar perbandingan antara dua kelompok nilai data atau lebih mean diperoleh dari menjumlahkan seluruh nilai dan kemudian membaginya dengan jumlah individu yang mendukung jumlah tersebut notasi untuk mean populasi μ notasi untuk mean contoh x a mean data belum tersusun dalam tabel distribusi frekuensi x1 x2 x3 .. xn 1 n x σ xi n n i 1 b mean data tersusun dalam tabel distribusi frekuensi x1 f1 x2 f2 .. xk fk 1 n x σ xi fi f1 f2 .. fk n i 1 8 median median adalah bilangan yang membatasi separo frekuensi bagian bawah distribusi dengan separo bagian atasnya untuk menetapkan bilangan median data harus disusun terlebih dahulu menjadi array atau tabel distribusi frekuensi median untuk data tersusun dalam tabel distribusi frekuensi 1 2 ft – fsm me bb i fm dimana me median bb batas bawah kelas median kelas dimana frekuensi ke ½ n terletak ft frekuensi total page 15 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 15disusun oleh endang dewi murrinie fsm total frekuensi kelas-kelas sebelum kelas median fm frekuensi kelas median i lebar interval selang kelas 9 modus modus adalah suatu nilai atau suatu golongan gejala yang paling banyak terjadi paling besar frekuensinya kadang-kadang juga dikatakan bahwa modus adalah nilai atau kelas yang paling populer modus untuk data tersusun dalam tabel distribusi frekuensi a mo bb i a b dimana mo modus mode bb batas bawah kelas modus kelas dengan frekuensi terbesar a fm – fbm selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya b fm – fsm selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i lebar interval selang kelas 4 kedudukan mean median dan modus kedudukan tiga tendensi sentral sangat tergantung pada bentuk distribusi dalam praktek pada umumnya akan dijumpai tiga kemungkinan bentuk distribusi yaitu a bentuk distribusi normal - kurvanya menyerupai bentuk genta - kedudukan dari mean median dan modus bersekutu atau x me mo b bentuk distribusi juling positif - kurva hampir menyerupai genta dengan ekor di sebelah kanan - kedudukan mode di bawah puncak kurva median terletak di sebelah kanannya dan mean terletak di sebelah kanannya lagi atau mo me x c bentuk distribusi juling negatif - kurva menyerupai genta dengan ekor di sebelah kiri - mode terletak di bawah kiri dari puncak median di sebelah kirinya dan mean terletak paling kiri atau mo me x page 16 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 16disusun oleh endang dewi murrinie 0 20 40 60 80 100 0246 east gambar 4.1 grafik bentuk normal 0 20 40 60 80 100 0510 east gambar 4.2 grafik bentuk juling positif 0 20 40 60 80 100 0246 east gambar 4.3 grafik bentuk juling negatif 5 persentil desil dan kuartil dalam seluruh distribusi akan ada 100 persentil dan diberi simbul p1 p2 p3 .. p100 persentil ini sebagaimana juga tendensi sentral merupakan suatu bilangan atau nilai persentil yang ke-n atau pn adalah suatu nilai bilangan yang membatasi n frekuensi bagian bawah distribusi dari frekuensi sisanya jadi misalnya p25 adalah suatu bilangan nilai yang membatasi 25 frekuensi bagian bawah distribusi dari 75 frekuensi bagian atas distribusi misal akan dicari p25 distribusi tabel 4.1 di bawah ini tabel 4.1 distribusi frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi 30 – 39 2 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 20 70 – 79 32 80 – 89 25 90 – 99 7 jumlah 100 page 17 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 17disusun oleh endang dewi murrinie 1 kita tetapkan berapa 25 n dalam hal ini 25 n 25 100 100 25 2 sampai modal 59 5 juta rupiah telah terisi 16 perusahaan diperlukan tambahan 9 perusahaan yang harus diambil dari kelas 60 – 69 juta rupiah yang beranggotakan 20 perusahaan 3 karena lebar kelas 60 – 69 sama dengan 10 maka 9 perusahaan yang diperlukan itu akan menduduki modal 9 20 10 4 5 4 jadi p25 59 5 4 5 64 bilangan modal 63 5 ini membatasi 25 perusahaan yang mempunyai modal 29 5 juta rupiah sampai 63 5 juta rupiah dengan 75 perusahaan yang mempunyai modal di atas 63 5 juta rupiah desil adalah persentil yang ke-puluhan karena itu d1 p10 d4 p40 atau secara umum dn p n 10 dengan dasar pengertian yang sama kita dapat menangkap arti kuartil k1 p25 k2 p50 d5 me dan k3 p75 b pengukuran variasi seperti diketahui bahwa salah satu landasan pokok dari statistika adalah landasan variasi oleh karena itu karakteristik suatu gejala tidaklah cukup bila hanya dilihat dari tendensi sentralnya saja keadaan variasinya juga harus diteliti misalnya saja diketahui bahwa rata-rata mean nilai ujian antara dua kelompok mahasiswa adalah sama informasi ini sama sekali kurang mencukupi tanpa mengetahui bagaimana variasi nilai ujian dua kelompok tersebut misal nilai ujian kelompok a 60 65 50 60 65 60 kelompok b 30 90 50 70 60 60 rata-rata nilai kelompok a 360 6 60 rata-rata nilai kelompok b 360 6 60 bila dilihat dari rata-ratanya maka kedua kelompok tersebut mempunyai nilai yang sama tetapi bila dilihat variasinya maka kelompok a lebih homogen dibandingkan dengan kelompok b makin besar variasi sesuatu gejala makin jauh gejala itu dari keadaan homogen sebab besar kecilnya variasi juga mencerminkan besar kecilnya homogenitas istilah- istilah variasi variabilita dan dispersi dalam statistika mempunyai arti yang sama yaitu keadaan penyebaran nilai-nilai dari tendensi sentralnya beberapa pengukuran variasi akan di bahas di bawah ini 1 range jarak antara nilai tertinggi dengan nilai terendah disebut range misal kelompok a 60 65 50 60 65 60 kelompok b 30 90 50 70 60 60 rata-rata nilai kelompok a 360 6 60 rata-rata nilai kelompok b 360 6 60 page 18 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 18disusun oleh endang dewi murrinie range nilai kelompok a 65 – 50 15 range nilai kelompok b 90 – 30 60 apabila ada dua kelompok dengan nilai rata-rata sama dimana range kelompok i 15 dan range kelompok ii 60 maka kita dapat mendiskripsi bahwa kelompok ii variasinya lebih besar daripada kelompok i atau dikatakan bahwa kelompok i lebih homogen dibandingkan kelompok ii 2 mean deviasi deviasi simpangan adalah penyimpangan suatu nilai dari mean rata-rata kelompoknya mean deviasi atau rata-rata deviasi atau rata-rata simpangan adalah rata-rata mean dari harga mutlak semua deviasi simpangan nilai-nilai individual untuk mencari mean deviasi harus dicari terlebih dahulu mean rata-ratanya lebih dahulu kemudian ditentukan berapa besar penyimpangan tiap-tiap nilai terhadap mean tersebut misal seorang siswa mempunyai iq 110 sedangkan mean rata-rata iq 100 maka deviasi iq orang tersebut adalah 110 – 100 10 sedangkan jika orang lain dalam kelompok tersebut mempunyai iq 85 maka deviasi iq orang tersebut adalah 85 – 100 − 15 deviasi yang bertanda plus menunjukkan deviasi di atas mean sedang yang bertanda minus menunjukkan deviasi di bawah mean tetapi dalam perhitungan mean deviasi ini tanda plus dan minus ditiadakan sebab yang dipakai hanya deviasi dalam harga mutlak misal data pengamatan x1 x2 x3 .. xn memiliki rata-rata x maka deviasi nilai-nilai pengamatan tersebut dari rata-rata meannya adalah x1 – x x2 – x .. xn – x 1 n mean deviasi dx σ xi – x n i 1 contoh kelompok a 60 65 50 60 65 60 mean 360 6 60 mean deviasi dx 1 6 60-60 65-60 50-60 60-60 65-60 60-60 1 6 0 5 -10 0 5 0 1 6 20 3 33 sedangkan mean deviasi dari data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut _ k _ dx 1 σ fi xi – x n i 1 dimana fi frekuensi dari kelas ke-i k jumlah kelas _ page 19 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 19disusun oleh endang dewi murrinie xi – x harga mutlak deviasi kelas ke-i contoh tabel 4.2 distribusi frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi titik tengah kelas _ xi – x _ f xi – x 30 – 39 2 34 5 38 40 – 49 3 44 5 28 50 – 59 11 54 5 18 60 – 69 20 64 5 8 70 – 79 32 74 5 2 80 – 89 25 84 5 12 90 – 99 7 94 5 22 jumlah 100 x1 f1 x2 f2 .. xk fk 1 n x σ xi f1 f2 .. fk n i 1 3 standar deviasi simpangan baku standar deviasi hampir sama dengan mean deviasi bila pada mean deviasi dipakai tanda mutlaknya maka pada standar deviasi semua deviasinya dikuadratkan kemudian dijumlahkan dan akhirnya ditarik akar pangkat duanya a standar deviasi untuk data belum tersusun dalam tabel distribusi frekuensi 1 n s σ xi – x 2 n i 1 bila standar deviasi dikuadratkan akan didapatkan besaran yang disebut varians s2 1 n s2 σ xi – x 2 n i 1 b standar deviasi untuk data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi k _ s 1 σ fi xi – x 2 n i 1 page 20 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 20disusun oleh endang dewi murrinie varians data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi k _ s2 1 σ fi xi – x 2 n i 1 rumus lain yang juga dapat digunakan untuk mencari standar deviasi adalah a data belum tersusun dalam distribusi frekuensi σ xi2 σxi s − 2 n n b data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi σ fxi2 σfxi s − 2 n n contoh 1 data belum tersusun dalam tabel distribusi frekuensi iq dari 10 siswa sebuah smp berikut ini 113 102 95 103 113 97 102 110 101 109 2 data tersusun dalam tabel distribusi frekuensi tabel 4.3 distribusi frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi titik tengah kelas 30 – 39 2 34 5 40 – 49 3 44 5 50 – 59 11 54 5 60 – 69 20 64 5 70 – 79 32 74 5 80 – 89 25 84 5 90 – 99 7 94 5 jumlah 100 4 arti standar deviasi dalam hampir semua analisis statistika terhadap hasil-hasil penelitian standar deviasi merupakan salah satu pengukuran variasi yang penting jika yang digunakan untuk mendiskripsikan tendensi sentralnya adalah mean maka standar deviasi digunakan untuk mendiskripsikan variasi standar deviasi membagi range menjadi beberapa bagian yang sama lebarnya pembagian pertama dimulai dari mean distribusi kemudian membentang ke atas dan ke bawah dengan tanda-tanda plus dan minus page 21 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 21disusun oleh endang dewi murrinie 34 48 50 2 14 34 _ - 4s - 3s - 2s - 1s x 1s 2s 3s 4s gambar 4.4 grafik distribusi normal dalam penelitian kemungkinan dijumpai bentuk distribusi normal tersebut jika suatu distribusi berbentuk normal maka banyaknya individu yang mendapatkan nilai - dari mean sampai 1 s kira-kira ada 34 - dari mean sampai 2 s kira-kira ada 48 - dari mean sampai 3 s kira-kira ada 50 persentase adalah pembulatan demikian juga - dari mean sampai -1 s kira-kira ada 34 - dari mean sampai -2 s kira-kira ada 48 - dari mean sampai -3 s kira-kira ada 50 atau tepatnya - dari mean sampai -1 s 34 13 - dari mean sampai -2 s 47 72 - dari mean sampai -3 s 49 87 jika kita hitung sebelah menyebelah dari mean hasilnya sebagai berikut - dari -1 s sampai 1 s 68 - dari -2 s sampai 2 s 96 - dari -3 s sampai 3 s 100 page 22 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 22disusun oleh endang dewi murrinie v teori probabilitas dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita tidak mengetahui dengan pasti tentang terjadinya suatu kejadian peristiwa apalagi kalau kejadian tersebut berhubungan dengan sesuatu di masa yang akan datang pertanyaan berikut ini adalah contoh mengenai kejadian- kejadian yang tidak dapat dijawab dengan pasti - kalau kita melempar sebuah mata uang logam ke atas gambar apakah yang akan keluar sisi muka atau belakang - kalau kita mengambil satu kartu dari satu set kartu bridge apakah kita akan memperoleh as - apakah di masa mendatang hasil penjualan akan naik - apakah produksi padi akan naik tahun ini untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas kita akan membahas apa yang disebut probabilitas a pengertian probabilitas kata probabilitas sering disebut juga dengan istilah lain seperti peluang dan kemungkinan secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi secara lengkap probablitas didefinisikan sebagai suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak dalam mempelajari probabilitas ada tiga kata kunci yang harus diketahui yaitu eksperimen hasil outcome dan kejadian atau peristiwa event sebagai contoh sebuah eksperimen dilakukan dengan menanyakan kepada 50 orang petani apakah mereka menggunakan pupuk majemuk atau tidak dari eksperimen ini akan terdapat beberapa kemungkinan hasil misalnya kemungkinan hasil pertama adalah sebanyak 20 orang akan menggunakan dan sisanya tidak menggunakan kemungkinan lain adalah bahwa 35 orang akan menggunakan sedang sisanya tidak menggunakan contoh lain dari eksperimen adalah pelemparan sebuah koin hasil outcome dari pelemparan sebuah koin tersebut adalah muka atau belakang kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian event probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal seperti 0 50 0 25 atau 0 70 atau bilangan pecahan seperti 5 10 25 100 atau 70 100 nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1 semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0 semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi pendekatan perhitungan probabilitas ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang bersifat objektif dan subjektif probabilitas objektif dibagi menjadi dua yaitu pendekatan klasik dan pendekatan frekuensi relatif 10 pendekatan klasik perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan peluang yang sama pada pendekatan ini harus diketahui terlebih dahulu seluruh kejadian yang akan muncul yang dalam praktek sulit untuk dilaksanakan berikut diberikan gambaran untuk memudahkan pemahaman suatu kejadian a yang dapat terjadi sebanyak x cara dari seluruh n cara misalnya ada n barang x rusak n – x tidak rusak kalau kita mengambil suatu barang secara acak random page 26 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 26disusun oleh endang dewi murrinie vi distribusi probabilitas binomium pada pokok bahasan sebelumnya kita pelajari distribusi probabilitas yang bersifat umum pada bab ini dan berikutnya akan dipelajari distribusi probabilitas yang paling banyak dipakai dalam ilmu statistika yang terdiri dari distribusi untuk data diskrit dan kontinyu sebaran ini bukan berasal dari pengalaman empiris tetapi dari pertimbangan- pertimbangan teoritis sehingga dipakai istilah distribusi teoritis tiga buah distribusi teoritis yang akan dibahas adalah distribusi binomium dan distribusi poisson untuk data diskrit dan distribusi normal untuk data kontinyu a distribusi binomium dasar dari distribusi binomium adalah bernoulli trials atau percobaan bernoulli yaitu - suatu eksperimen atau observasi yang dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali dimana tiap pengulangan disebut trial - hanya ada dua hasil yang mungkin dalam setiap trial yaitu peristiwa a dan bukan a ac atau secara umum disebut peristiwa sukses dan bukan sukses gagal catatan pengertian sukses dan gagal tidak sukses disini tidak harus selalu untuk eksperimen yang menghasilkan dua kemungkinan saja tetapi hasilnya dikelompokkan menjadi dua dan disebut sukses bila hasilnya sesuai dengan yang dikehendaki oleh peneliti sedangkan tidak sukses untuk hasil-hasil yang lain - contoh pada pelemparan sebuah dadu peneliti ingin mengamati tertarik pada munculnya mata 1 dan 2 maka peristiwa sukses munculnya mata 1 dan 2 peristiwa tidak sukses munculnya mata 3 4 5 dan 6 - pengertian sukses dan tidak sukses ini juga tidak selalu sama dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari hasil eksperimen observasi yang menjadi perhatian pertama pembuat eksperimen disebut sebagai sukses meskipun bisa berarti bencana sifat-sifat bernoulli trials a tiap trial menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin yang disebut sebagai peristiwa sukses s dan tidak sukses t b untuk setiap trial probabilitas terjadinya sukses sama dan ditulis p s p sedangkan probabilitas tidak sukses atau p t q 1 – p sehingga p q 1 c trial-trial tersebut independent satu dengan yang lain berarti peluang akan sukses dan tidak sukses dalam suatu trial tidak berubah meskipun diperoleh informasi tentang hasil trial yang lain dalam distribusi binomium - kita lakukan bernoulli trials berulang-ulang sebanyak n kali - probabilitas sukses dalam tiap trial atau p s p dan probabilitas tidak sukses atau p t q 1 – p - misal dalam n kali trial tersebut terjadi sukses sebanyak x kali maka peristiwa tidak sukses terjadi sebanyak n – x kali - salah satu probabilitas terjadinya cara tersebut ppp … p qqq … q px q n-x page 27 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 27disusun oleh endang dewi murrinie x kali n-x kali n kali - kalau hanya ingin memperhatikan terjadinya sukses sebanyak x kali dan tidak sukses sebanyak n-x kali dari n trial tanpa memperhatikan urutan terjadinya maka peristiwa x kali sukses dan n-x kali tidak sukses dapat terjadi dalam n x cara yang masing-masing mempunyai probabilitas px q n-x sehingga probabilitas terjadinya x kali sukses dari n kali percobaan dapat ditulis sebagai n n n p x n px q n-x dimana x x n – x x - rumus di atas disebut sebagai distribusi probabilitas binomium yaitu probabilitas bahwa dari n trial terjadi x kali sukses - istilah distribusi binomium diturunkan dari satu sifat penting dalam matematika yaitu teorema ekspansi binomial yang mempelajari rumus ekspansi untuk a b n sebagai berikut a b 1 a b a b 2 a2 2 ab b2 a b 3 a3 3 a2b 3 ab2 b3 n n n n a b n an 1 a1 bn-1 2 a2 bn-2 … x ax bn-x … n-1 an-1 b bn - x dapat menjalani harga-harga 0 1 2 .. n dan n n σ x px q n-x 1 x 0 - bukti untuk n 3 3 3 σ x px q n-x x 0 3 3 3 3 0 p0 q 3-0 1 p1 q 3-1 2 p2 q 3-2 3 p3 q 3-3 3 3 3 3 q3 p q2 p2 q p3 3-0 0 3-1 1 3-2 2 3-3 3 3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 q3 p q2 p2 q p3 3.2.1 2.1.1 1.2.1 3.2.1 page 28 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 28disusun oleh endang dewi murrinie q3 3 p q2 3 p2 q p3 p q 3 13 1 rata-rata mean varians dan deviasi standar distribusi binomium - rata-rata mean distribusi binomium μ μ n p - varians s2 distribusi binomium s2 n p 1-p n p q - deviasi standar simpangan baku distribusi binomium s √ n p q contoh setelah diadakan penyelidikan terhadap hasil pengemasan sebuah mesin diketahui bahwa pada tiap pengemasan sebanyak 3600 produk akan terjadi kerusakan kemasan sebanyak 360 produk bila akan dilakukan pengemasan 5 produk berapa probabilitasnya akan ditemukan 0 1 … 5 produk rusak jawab probabilitas kemasan produk rusak atau tidak memenuhi standar kualitas adalah 360 3600 1 10 bila dianggap probablitas tersebut konstan maka p 1 10 sesuai rumus distribusi binomium maka n 5 p 1 10 x 0 1 .. 5 sedangkan q 1 – p 9 10 untuk x 0 5 p 0 5 0 1 10 0 9 10 5 0 59049 untuk x 1 5 p 1 5 1 1 10 1 9 10 4 0 32805 untuk x 2 5 p 2 5 2 1 10 2 9 10 3 0 0729 untuk x 3 5 p 3 5 3 1 10 3 9 10 2 0 0081 untuk x 4 5 p 4 5 4 1 10 4 9 10 1 0 00045 untuk x 5 5 p 5 5 5 1 10 5 9 10 0 0 00001 bila digambarkan dalam bentuk grafik page 29 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 29disusun oleh endang dewi murrinie 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 012345 probabilitas gambar 6.1 probabilitas ditemukan 0 sampai 5 produk rusak - rata-rata mean dari distribusi binomium tersebut μ n p 5 1 10 0 5 - varians s2 n p q 5 1 10 9 10 0 45 - standar deviasi simpangan baku s √ n p q √ 0 45 0 671 soal 1 bila kemungkinan melahirkan anak laki-laki dan anak perempuan adalah sama berapakah probabilitasnya suatu keluarga dengan 6 anak akan terdiri dari 0 1 … 6 anak laki-laki gambarkan dalam bentuk grafik serta hitung rata-rata varians dan simpangan bakunya 2 bila sekeping uang logam yang setimbang dilempar sebanyak 6 kali a berapakah probabilitasnya memperoleh 5 sisi muka dan b berapakah probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi muka b penyelarasan distribusi binomial pada distribusi frekuensi sampling distribusi binomial yang telah dibahas merupakan distribusi binomial teoritis pada perhitungan teoritis di atas nilai p selalu diketahui bila p tidak diketahui maka nilai p harus ditaksir secara eksperimental contoh angkatan udara mengadakan percobaan menembak suatu target sasaran tertentu dengan 5 pucuk meriam penangkis pesawat udara tiap kali penembakan selalu dilakukan oleh kelima pucuk meriam tersebut percobaan tembak ini dilakukan secara berturut-turut sebanyak 100 kali hasil percobaan sebagai berikut tabel 1 distribusi frekuensi dari nilai x jumlah target yang tertembak sebagai hasil eksperimental sebanyak 100 kali dengan 5 pucuk meriam x fi xfi 0 1 2 3 4 3 10 25 40 15 0 10 50 120 60 page 40 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 40disusun oleh endang dewi murrinie z1 − 1 96 μ z2 1 96 x – 1 96 δ √n ≤ μ ≤ x 1 96 δ √n selang tersebut disebut sebagai selang kepercayaan interval confidensi 95 untuk μ atau probabilitas peluangnya 95 bahwa selang tersebut akan memuat μ populasi dan 5 lainnya tidak memuat μ angka 95 disebut sebagai taraf kepercayaan coefficient confidence selang kepercayaan akan berubah-ubah karena taraf kepercayaan juga berubah-ubah tergantung si peneliti dari harga selang kepercayaan tersebut karena biasanya tidak diketahui harga δ simpangan baku deviasi standar populasi maka dapat digunakan penduga δ yaitu s sehingga rumus dapat ditulis p x – z α 2 s √n ≤ μ ≤ x z α 2 δ √n 1 – α keterangan bila dipilih α 0 01 berarti 1 – α 0 99 99 0 5 0 5 z1 − 2 57 μ z2 2 57 z1 − 2 57 dan z2 2 57 maka kita peroleh suatu selang yang memuat μ sebagai berikut x – 2 57 δ √n ≤ μ ≤ x 2 57 δ √n bila n 30 digunakan distribusi t sebagai berikut x – t α 2 n – 1 s √n ≤ μ ≤ x t α 2 n – 1 s √n nilai dari tabel t nilai dari tabel t contoh 1 untuk n ≥ 30 untuk menentukan rata-rata pendapatan per kapita dilakukan survei terhadap 100 keluarga secara random dari hasil survei diketahui rata-rata pendapatan rp 250.000 - jika pendapatan rata-rata tersebut tersebar secara normal dengan simpangan baku rp 20.000 - buatlah penduga selang untuk pendapatan tersebut dengan taraf kepercayaan 5 2 untuk n 30 untuk menentukan hasil padi per satuan luas dilakukan pengukuran pada 20 daerah per tanaman padi yang ditentukan secara acak hasil pengukuran adalah sebagai berikut t ha x1 5 2 x6 5 2 x11 3 4 x16 4 1 x2 5 5 x7 2 2 x12 3 2 x17 4 3 x3 2 8 x8 3 7 x13 3 9 x18 3 5 x4 4 6 x9 6 0 x14 5 4 x19 4 6 page 41 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 41disusun oleh endang dewi murrinie x5 3 0 x10 4 0 x15 2 8 x20 3 8 tentukan selang kepercayaan 90 95 dan 99 untuk μ 2 penduga selang parameter proporsi pendugaan parameter proporsi p dapat dilakukan dengan menggunakan proporsi sampel x n a untuk n ≥ 30 dengan interval keyakinan 1 – α maka p x n – z α 2 √ x n 1 – x n ≤ p ≤ x n z α 2 √ x n 1 – x n 1 – α n n catatan x n adalah penduga p p contoh untuk n ≥ 30 dari contoh acak yang diambil dalam pemilihan ketua suatu organisasi dari 250 pemilih ternyata 150 orang memilih a dari contoh tersebut tentukan selang kepercayaan 0 90 dan 0 95 untuk proporsi pemilih a dalam populasi b untuk n 30 p x n – t α 2 db √ x n 1 – x n ≤ p ≤ x n t α 2 db √ x n 1 – x n 1 – α n n contoh dari suatu perusahaan akan diselidiki proporsi perokok pegawai pria guna keperluan tersebut diambil 25 orang pegawai pria dan ternyata 12 orang diantaranya adalah perokok dengan selang kepercayaan 0 95 dan 0 99 buatlah penduga selang untuk proporsi perokok pria pada perusahaan tersebut 3 penduga selang selisih perbedaan dua rata-rata perbedaan dua mean a untuk n ≥ 30 a.1 jika δ12 ≠ δ22 p x1– x2 – zα 2√ δ12 δ22 ≤ μ1 – μ2 ≤ x1– x2 z α 2 √ δ12 δ22 1 – α n1 n2 n1 n2 page 42 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 42disusun oleh endang dewi murrinie a.2 jika δ12 δ22 δ2 p x1– x2 – z α δ √ 1 1 ≤ μ1 – μ2 ≤ x1– x2 z α δ √ 1 1 1 – α n1 n2 n1 n2 contoh 1 dua metode mengajar akan dibandingkan efektivitasnya metode a diterapkan terhadap 40 murid sedangkan metode b diterapkan untuk 35 murid hasil akhir memberikan rata-rata evaluasi sebesar 7 0 dan 6 5 untuk metode a dan b berturut-turut jika ragam varian populasi diketahui sebesar 0 9 dan 0 8 berturut-turut tentukan selang kepercayaan 0 95 untuk selisih hasil rata-rata evaluasi metode a dan metode b 2 dua metode mengajar akan dibandingkan efektivitasnya metode a diterapkan terhadap 40 murid sedangkan metode b diterapkan untuk 35 murid hasil akhir memberikan rata-rata evaluasi sebesar 7 0 dan 6 5 untuk metode a dan b berturut-turut jika ragam varian kedua populasi diketahui sebesar 0 9 tentukan selang kepercayaan 0 95 untuk selisih hasil rata-rata evaluasi metode a dan metode b b untuk n 30 b.1 jika δ12 ≠ δ22 p x1– x2 – t α 2 n1 n2–2 √ δ12 δ22 ≤ μ1 – μ2 ≤ x1– x2 t α 2 n1 n2–2 √ δ12 δ22 1 – α n1 n2 n1 n2 dari tabel t a.2 jika δ12 δ22 δ2 p x1– x2 – t α 2 n1 n2–2 δ √1 1 ≤ μ1 – μ2 ≤ x1– x2 t α 2 n1 n2–2 δ √1 1 1 – α n1 n2 n1 n2 contoh kasus sama untuk n ≥ 30 dengan n1 15 dan n2 10 4 penduga selang selisih perbedaan dua proporsi a n ≥ 30 p p1–p2 – z α 2 √p1 1-p1 p2 1-p2 ≤p1 – p2≤ p1–p2 z α 2 √p1 1-p1 p2 1-p2 1 – α n1 n2 n1 n2 keterangan p1 penduga p1 x1 n1 p2 penduga p2 x2 n2 contoh page 43 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 43disusun oleh endang dewi murrinie suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui perbedaan proporsi perokok pria dan wanita dari contoh yang terdiri dari dua kelompok yaitu pria dan wanita ternyata dari 500 pria 200 diantaranya adalah perokok dan dari 500 wanita ternyata 50 diantaranya adalah perokok tentukan selang kepercayaan 95 untuk menduga selisih proporsi perokok pria dan wanita pada populasi tersebut b n 30 p p1–p2 – t α 2 n1 n2 – 2 √p1 1-p1 p2 1-p2 ≤ p1 – p2 ≤ n1 n2 p1–p2 t α 2 n1 n2 – 2 √p1 1-p1 p2 1-p2 1 – α n1 n2 contoh sama dengan kasus n ≥ 30 dengan n1 16 x1 4 dan n2 10 x2 2 page 44 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 44disusun oleh endang dewi murrinie ix pengujian hipotesis a pendahuluan dalam kehidupan sehari-hari hampir setiap saat kita dihadapkan pada suatu keharusan untuk menentukan sikap atau mengambil keputusan terhadap sesuatu tindakan yang akan kita lakukan tergantung pada bobot masalah yang hendak diputuskan sebelum sampai pada pengambilan keputusan suatu proses telah terjadi pada kita dan proses tersebut akan melibatkan data atau fakta-fakta yang berhubungan dengan masalah yang hendak diputuskan hampir setiap tindakan kita memerlukan suatu keputusan yang didahului suatu proses pengumpulan data meski dalam bentuk sederhana kemudian dianalisis digunakan sebagai dasar pertimbangan dan akhirnya diputuskan dalam setiap pengambilan keputusan apapun bentuknya tentu mengandung resiko yaitu apa yang diputuskan tidak sebagaimana yang diharapkan meskipun pengambilan keputusan tersebut didasarkan atas data fakta yang dapat dipercaya kebenarannya tetapi resiko masih tetap ada baik karena kondisinya yang berubah berbeda ataupun hal-hal lain yang tidak kita pertimbangkan sebelumnya resiko pengambilan keputusan tersebut dalam statistika selalu dipertimbangkan atau kita tetapkan terlebih dahulu apabila keputusan tersebut merupakan keputusan yang bersifat ilmiah tentunya harus diterapkan metode ilmiah mulai dari pengumpulan data fakta sampai pengambilan keputusan metode ilmiah garis besarnya adalah penerapan logika dan objektivitas dalam mempelajari atau memahami fenomena-fenomena pengumpulan data tersebut dapat melalui percobaan maupun pengamatan misal survei studi kasus selanjutnya data yang terkumpul dianalisis diuji keserasiannya dengan hipotesis yang diajukan dan kemudian ditarik kesimpulannya dengan resiko yang telah ditetapkan sebelumnya b pengertian hipotesis istilah hipotesis berasal dari kata-kata yunani hipo dan thesis hipo berarti di bawah kurang atau lemah hupo thesis tesa berarti teori atau proposisi yang disajikan sebagai bukti atau pernyataan hipotesis adalah pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan masih perlu dibuktikan kenyataannya jika suatu hipotesis telah dibuktikan kebenarannya namanya menjadi thesis perumusan hipotesis harus didasarkan pada pengetahuan-pengetahuan tertentu yang dapat diperoleh dari - pustaka - berpikir rasional atau - dari hasil penelitian serta problematik dalam penelitian sebelumnya kebenaran hipotesis bersifat sementara artinya harus diadakan pengujian secara empirik melalui kegiatan pengujian hipotesis bila kebenaran teoritik kebenaran empirik maka hipotesis yang dirumuskan dalam penelitian dapat diterima sebaliknya kalau tidak sama maka kebenaran teoritiknya gugur atau ditolak dengan demikian akan muncul kebenaran baru berasal dari kebenaran empirik sehingga dapat dikatakan bahwa hipotesis merupakan alat untuk memperoleh pengetahuan yang perlu ditelaah kebenarannya c hipotesis nol dan alternatif dalam perumusan hipotesis perlu diperhatikan hal-hal sebagai berikut 12 hendaknya hipotesis bertautan antara dua variabel atau lebih 13 dinyatakan dalam bentuk kalimat deklaratif pernyataan 14 dirumuskan secara jelas 15 hipotesis dapat diuji artinya data dapat dikumpulkan guna pengujian page 45 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 45disusun oleh endang dewi murrinie dalam pengujian hipotesis selalu diperoleh dua kemungkinan jawaban yaitu menolak atau menerima hipotesis hipotesis ditolak tidak berarti penelitiannya gagal yang penting peneliti dapat memberi alasan yang kuat mengenai kemungkinan- kemungkinan ditolaknya hipotesis atau dapat juga keadaan tersebut justru membuka cakrawala baru ada dua macam hipotesis yaitu 1 hipotesis nol ho 2 hipotesis alternatif ha ho merupakan hipotesis pegangan sementara yang akan dilakukan pengujian ha merupakan alternatif dari ho yaitu keputusan apa yang harus ditentukan bila ho ditolak pemilihan ho dan ha tergantung pada arah yang diberikan oleh landasan teoritik yang digunakan jika landasan teoritik mengarah pada tidak ada hubungan antara variabel satu dengan yang lain atau tidak ada perbedaan antara keadaan sampel satu dengan lainnya maka hipotesisnya merupakan ho jika landasan teoritik mengarah pada keadaan yang terdapat hubungan atau ada perbedaan maka hipotesis penelitiannya akan merupakan hipotesis alternatif ha dalam praktek penelitian kebanyakan hipotesis yang dirumuskan adalah dalam bentuk hipotesis alternatif beberapa contoh berikut akan dijadikan dasar penentuan ho dan ha dalam pengujian hipotesis 1 penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah perubahan sistem penyuluhan program kb memberikan keberhasilan yang lebih tinggi dibandingkan dengan cara-cara terdahulu atau tidak 2 penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah hasil padi per satuan luas untuk tahun ini lebih tinggi dari hasil padi per satuan luas tahun-tahun sebelumnya 3 ingin diteliti apakah dengan penambahan sesuatu alat pada unit pemrosesan dapat mengurangi persentase produk cacat pada produk yang dihasilkan dalam proses produksi tersebut pada contoh 1 kita mempunyai keyakinan bahwa metode baru metode penyuluhan tersebut akan meningkatkan program kb misal jika diketahui persentase keberhasilan kb sebelumnya 20 maka rumusan ho dan ha sebagai berikut ho p 0 2 ha p 0 2 pada contoh 2 kita tidak tahu pasti apakah hasil padi per satuan luas akan meningkat atau tidak karena banyak hal yang berkaitan dengan lingkungan yang tidak dapat kita kendalikan jadi hasil padi tahun ini mungkin lebih tinggi atau mungkin lebih rendah misal diketahui hasil tahun sebelumnya 2 5 t ha maka dapat dirumuskan ho dan ha sebagai berikut ho μ 2 5 ha μ ≠ 2 5 pada contoh 3 kita percaya bahwa dengan menambah sesuatu alat pada unit pemrosesan akan dapat mengurangi persentase produk cacat misal produk cacat sebelumnya 10 maka ho p 0 1 ha p 0 1 page 46 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 46disusun oleh endang dewi murrinie d pengujian hipotesis 1 tipe kesalahan keputusan yang diambil dalam pengujian hipotesis menerima menolak ho tidak didasarkan bahwa kita yakin 100 ho benar atau salah melainkan ho diterima karena fakta yang diperoleh dalam sampel menunjukkan kemungkinan besar ho benar dan menolak ho karena fakta menunjukkan kemungkinan ho salah berarti dalam setiap pengambilan keputusan menolak atau menerima ho kemungkinan terdapat kesalahan macam kesalahan yang mungkin terjadi sebagai berikut 2 level of significance agar dapat memperoleh kesimpulan ho diterima atau ditolak berdasar penelitian sampel harus dipunyai pedoman peraturan pengujian kriteria yaitu dengan membandingkan antara harga statistik nilai sampel dengan harga parameter yang dihipotesiskan - untuk n ≥ 30 pedoman pengujian dalam bentuk persentase kurve normal misal diambil luas kurve normal 90 95 atau 99 - untuk n 30 digunakan distribusi student tabel t misal untuk n ≥ 30 dengan α 5 - daerah antara –z s d z disebut daerah terima - daerah sebelah kiri –z atau sebelah kanan z disebut daerah tolak - daerah tolak tersebut diberi simbul α alpha 2 5 95 2 5 α  taraf kepercayaan level of significance - z μo z perlu dicatat bahwa selang kepercayaan 1 – α untuk sesuatu parameter berkaitan erat dengan pengujian hipotesis jika ho ditolak dengan taraf nyata α maka selang kepercayaan 1 – α tidak akan mengandung parameter sebagaimana dispesifikasikan dalam ho 3 kriteria pengujian kapan menerima atau menolak ho tergantung pada formulasi ho dan ha - bila ha ≠ digunakan uji 2 sisi two tailed test - bila ha digunakan uji 1 sisi kanan - bila ha digunakan uji 1 sisi kiri hipotesis ho benar ho salah kesimpulan ho ditolak kesalahan kesimpulan tipe i benar ho diterima kesimpulan kesalahan benar tipe ii page 47 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 47disusun oleh endang dewi murrinie uji 2 sisi daerah α 2 terima α 2 − ho daerah daerah tolak tolak uji 1 sisi kanan uji 1 sisi kiri daerah daerah terima α α terima ho − ho daerah daerah tolak tolak 4 langkah-langkah pengujian hipotesis a menentukan formulasi ho dan ha b menentukan alternatif pengujian uji 2 sisi uji 1 sisi kanan atau uji 1 sisi kiri dengan menggunakan level of significance tertentu c menentukan kriteria pengujian daerah terima dan daerah tolak dengan menggunakan tabel d mengadakan perhitungan dari sampel contoh dengan rumus formulasi yang digunakan e menarik kesimpulan pengujian menerima atau menolak ho e macam-macam pengujian hipotesis 1 pengujian hipotesis rata-rata 2 pengujian hipotesis proporsi 3 pengujian hipotesis beda dua rata-rata 4 pengujian hipotesis beda dua proporsi 1 pengujian hipotesis rata-rata mean langkah-langkah pengujiannya 1 menyusun formulasi ho dan ha a ho µ µ0 ha µ ≠ µ0 b ho µ µ0 ha µ µ0 c ho µ µ0 ha µ µ0 2 menentukan alternatif pengujian a bila formulasi ha µ ≠ µ maka digunakan uji 2 sisi b bila formulasi ha µ µ maka digunakan uji 1 sisi kanan page 63 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 63disusun oleh endang dewi murrinie harga r tabel tergantung pada n banyaknya sampel dan taraf kepercayaan pada contoh di atas r hitung 0 941 r tabel dengan n 10 taraf kepercayaan 5  r tabel 0 5760 berarti r hitung r tabel 5 sehingga kesimpulannya ada korelasi positif antara variabel x dan variabel y ada korelasi positif antara jauh loncatan dengan tinggi loncatan 63 of 63 displaying statistika utk mhs.doc