STATISTIKA (2 – 1)

STATISTIKA (2 – 1)

Download File

STATISTIKA (2 – 1).docx

 keyword :

 

pokok bahasan 1 pendahuluan 2 distribusi frekuensi 3 penyajian grafik 4 pengukuran nilai sentral dan variasi 5 teori probabilitas 6 distribusi binomial dan distribusi normal 7 distribusi sampling 8 teori estimasi 9 pengujian hipotesis 10 teori sampel kecil 11 chi kuadrat 12 regresi linear dan korelasi sumber bacaan budiyati e s wahyuningsih dan a andrin 2007 aplikasi larutan aloe vera l pada penyimpanan tiga varietas buah anggur badan penelitian tanaman jeruk dan buah subtropika tlekung dayan a 1974 pengantar metode statistika jilid i lpes jakarta nasution a.h dan barizi 1980 metode statistika untuk penarikan kesimpulan gramedia jakarta suntoyo yitno sumarto 1990 dasar-dasar statistika dengan penekanan terapan dalam bidang agrokompleks teknologi dan sosial rajawali jakarta supranto j 2000 statistik teori dan aplikasi jilid 1 erlangga jakarta sutrisno hadi 1981 statistika jilid ii fakultas psikologi universitas gadjah mada yogyakarta sutrisno hadi 1989 metodologi research jilid iii andi offset yogyakarta page 2 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 2disusun oleh endang dewi murrinie i pendahuluan a pengertian statistika istilah statistika mempunyai dua macam pengertian yaitu pengertian dalam arti sempit dan dalam arti luas statistika dalam arti sempit berarti data ringkasan berbentuk angka kuantitatif misal statistika penduduk misalnya adalah data atau keterangan berbentuk angka ringkasan mengenai penduduk jumlah rata-rata umur persentase yang buta huruf statistika kepegawaian jumlahnya umur rata-rata masa kerja tingkat pendidikan dan sebagainya statistika dalam arti luas berarti ilmu yang mempelajari cara pengumpulan pengolahan pengelompokkan penyajian dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh definisi ini lebih ditekankan kepada urutan kegiatan dalam memperoleh data sampai data tersebut berguna untuk dasar pembuatan keputusan jadi bila seseorang memerlukan data untuk pengambilan keputusan maka data tersebut harus dikumpulkan diolah disajikan dan dianalisis kemudian diambil kesimpulannya yang perlu ditekankan adalah bahwa metode pengumpulan data secara statistika sangat efisien karena menghemat tenaga biaya serta waktu dan yang penting bisa diperoleh dengan tingkat ketelitian yang tinggi statistika tidak hanya berguna untuk keperluan rutin dan dasar pengambilan keputusan saja tetapi juga memberikan teori atau metode yang sangat berguna untuk perkembangan ilmu lainnya melalui penelitian statistika juga memberikan metode untuk melakukan peramalan yang digunakan sebagai dasar perencanaan dan metode pengujian hipotesis yang sangat berguna untuk penelitian dan pengambilan keputusan dalam rangka memecahkan masalah atau secara teknik metodologi berarti cara-cara ilmiah yang dipersiapkan untuk mengumpulkan menyusun menyajikan dan menganalisis data penelitian yang berwujud angka-angka lebih jauh lagi statistika diharapkan dapat menyediakan dasar-dasar yang dapat dipertanggungjawabkan untuk menarik kesimpulan yang benar dan untuk pengambilan kesimpulan yang baik b landasan kerja statistika statistika menggunakan tiga jenis landasan kerja yang pokok yaitu 1 variasi 2 reduksi dan 3 generalisasi landasan kerja variasi didasarkan atas kenyataan bahwa seorang peneliti selalu menghadapi gejala yang bermacam-macam gejala-gejala yang bervariasi baik dalam jenisnya maupun dalam tingkatan besar kecilnya landasan kerja yang kedua memberi kesempatan kepada peneliti untuk meneliti hanya sebagian dari seluruh gejala atau kejadian yang akan diteliti penelitian semacam ini dikenal dengan sebutan penelitian sampling sampling study meskipun penelitian dilakukan hanya terhadap sebagian dari keseluruhan gejala atau kejadian namun kesimpulan hasil penelitian akan diperuntukkan bagi keseluruhan dari mana sebagian gejala atau kejadian itu diambil proses atau tata kerja semacam ini disebut generalisasi c ciri-ciri pokok statistika statistika mempunyai tiga macam ciri pokok yaitu 1 statistika bekerja dengan angka-angka angka dalam statistika mempunyai dua arti yaitu a angka sebagai jumlah yang menunjukkan jumlah atau frekuensi dan b angka yang menunjukkan nilai atau harga dalam arti yang terakhir ini angka mewakili atau mensimbulkan sesuatu kualitas misalnya angka kecerdasan tingkat serangan hama nilai sekolah 2 bersifat objektif page 3 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 3disusun oleh endang dewi murrinie statistika menutup pintu bagi masuknya unsur-unsur subyektif yang dapat menyulap keinginan menjadi kenyataan atau kebenaran statistika sebagai alat penilai kenyataan tidak dapat berbicara lain kecuali fakta yang ada 3 bersifat universal statistika dapat digunakan untuk membantu penelitian hampir semua bidang ilmu baik eksakta maupun sosial aplikasi statistika dalam ilmu tertentu sudah begitu maju sehingga kadang-kadang memerlukan teknik-teknik yang berlainan untuk pemecahan persoalan yang berbeda misal statistika yang diterapkan dalam ilmu ekonomi disebut ekonometrik dalam biologi disebut biometrik dalam sosiologi disebut sosiometrik d data statistika 1 syarat data yang baik data yang salah apabila digunakan sebagai dasar pengambilan keputusan akan menghasilkan keputusan yang salah persyaratan data yang baik antara lain obyektif representatif mewakili memiliki kesalahan baku yang kecil tepat waktu dan relevan obyektif berarti bahwa data harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya representatif berarti mewakili seluruh gejala atau kejadian yang akan diteliti atau mewakili obyek yang diteliti suatu perkiraan estimasi dikatakan baik mempunyai tingkat ketelitian yang tinggi apabila kesalahan bakunya kecil ketiga syarat diatas sering disebut syarat data yang dapat diandalkan reliable sedangkan syarat tepat waktu dan relevan lebih menunjukkan manfaat atau kegunaannya syarat tepat waktu penting agar dapat dilakukan penyesuaian atau koreksi seperlunya bila ada kesalahan atau penyimpangan yang terjadi di dalam implementasi suatu perencanaan relevan berarti data yang dikumpulkan harus ada hubungannya dengan masalah yang akan diteliti 2 pembagian data data dapat dikelompokkan antara lain menurut sifat sumber cara memperoleh dan waktu pengumpulan data menurut sifatnya dibedakan menjadi data kualitatif dan data kuantitatif data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka nonnumeris misalnya tingkat serangan hama serangan berat sedang ringan data kuantitatif adalah data yang dinyatakan dalam bentuk angka misalnya jumlah tanaman terserang hama berat biji per tanaman data menurut sumber perolehannya dibedakan menjadi data internal dan data eksternal data internal adalah data yang bersumber dari keadaan atau kegiatan sendiri misal tinggi tanaman dari penelitian produktivitas padi pada sepetak lahan data eksternal adalah data yang bersumber dari luar misal pada penelitian produktivitas padi tersebut dibutuhkan data curah hujan selama penelitian yang didapatkan dari stasiun pengamat cuaca setempat data menurut cara memperolehnya dibedakan menjadi data primer dan data sekunder data primer adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri data sekunder adalah data yang diperoleh dan telah diolah oleh pihak lain biasanya dalam bentuk publikasi data menurut waktu pengumpulannya dibedakan menjadi data cross section dan data berkala times series data cross section adalah data yang dikumpulkan dalam suatu periode tertentu yang menggambarkan keadaan atau kegiatan pada saat itu misal data rata-rata produksi padi pada tahun 1990 data tinggi tanaman padi umur 4 mst minggu setelah tanam data times series atau data berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan perkembangan page 4 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 4disusun oleh endang dewi murrinie suatu kegiatan dari waktu ke waktu misalnya data rata-rata produksi padi tahun 1990 – 1995 data tinggi tanaman padi mulai 2 mst – 8 mst 3 pengumpulan data statistika merupakan pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan pengolahan penyajian dan analisis data serta pengambilan kesimpulan dari definisi tersebut pengumpulan merupakan tahap awal dari kegiatan statistika agar kesimpulannya benar maka data yang dikumpulkan harus benar ada dua cara pengumpulan data yaitu sensus dan sampling sensus adalah tahapan pengumpulan data dimana seluruh anggota populasi diselidiki satu persatu populasi adalah kumpulan anggota sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain sampel atau contoh adalah sebagian dari populasi dimana pengamatan atau pengukuran akan dilakukan sampel populasi sampling adalah cara pengumpulan data dimana yang diselidiki adalah sebagian anggota dari populasi data yang diperoleh dari sampel merupakan data perkiraan estimate value jika nilai yang dihitung dari seluruh anggota populasi disebut parameter maka nilai yang dihitung dari sampel disebut statistik dibandingkan dengan sensus cara sampling membutuhkan biaya lebih sedikit waktu lebih singkat tenaga tidak terlalu banyak dan dapat menghasilkan cakupan data yang lebih luas pada dasarnya ada dua cara pengambilan sampel yaitu cara acak random dan bukan acak non random cara acak adalah suatu cara pemilihan sejumlah anggota populasi untuk menjadi anggota sampel dimana pemilihannya sedemikian rupa sehingga setiap anggota mendapat kesempatan yang sama untuk terambil sebagai sampel caranya bisa menggunakan undian atau dapat juga dengan tabel bilangan acak daftar angka yang sudah dibuat sedemikian rupa sehingga kalau dipergunakan akan menjamin pemilihan secara acak cara ini dianggap obyektif karena netral samplingnya disebut probability sampling yaitu setiap anggota mempunyai probabilitas kemungkinan yang sama untuk dipilih cara bukan acak adalah suatu pemilihan anggota-anggota dari populasi untuk menjadi sampel dimana setiap anggota tidak mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih samplingnya disebut sebagai nonprobability sampling artinya setiap anggota tidak mempunyai probabilitas yang sama untuk dipilih hal yang perlu diketahui adalah bahwa hanya dengan probability sampling yang sifatnya acak kita dapat menggunakan metode analisis statistika menguji hipotesis membuat perkiraan estimasi interval serta dapat memperkirakan besarnya kesalahan perkiraan dengan demikian memungkinkan kita untuk memperkirakan besarnya resiko ketidakpastian dalam proses pengambilan keputusan setelah metode pengumpulan data ditentukan berikutnya adalah menentukan alat untuk memperoleh data dari obyek yang akan diteliti ada beberapa cara untuk mengumpulkan data yaitu melalui daftar pertanyaan kuisioner wawancara dan observasi atau pengamatan langsung data yang dikumpulkan untuk analisis tidak meliput pengamatan yang semuanya sama data yang dihitung atau diukur untuk keperluan analisis akan memperlihatkan variasi nilai suatu variabel – yaitu ciri karakteristik yang menunjukkan variasi variabel atau peubah adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah atau berbeda misalnya tinggi tanaman kedelai karakteristik tinggi tanaman kedelai akan berubah-ubah menurut waktu atau berbeda-beda menurut tempat hasil tanaman harga pendapatan temperatur dan lain sebagainya notasi untuk menunjukkan suatu variabel dipergunakan huruf latin misal x y z suatu variabel dengan nilai yang dapat dihitung atau terbatas disebut variabel diskrit misal jumlah daun per tanaman jumlah tanaman terserang hama jumlah gulma per petak variabel dengan nilai tidak terbatas yang dapat diukur dan dicatat sampai pada suatu tingkatan ketepatan yang diperlukan disebut variabel kontinu tinggi tanaman bobot biji per petak page 5 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 5disusun oleh endang dewi murrinie 4 pengorganisasian data setelah data terkumpul kemudian dilakukan pengorganisasian data dengan skema sebagai berikut tidak ya gambar 1 skema pengorganisasian data b metodologi pemecahan masalah secara statistika langkah-langkah dasar dalam pemecahan masalah secara statistika adalah 1 mengidentifikasi masalah 2 mengumpulkan fakta atau data yang relevan terhadap permasalahan 3 mengklasifikasikan dan mengikhtisarkan data setelah data terkumpul langkah selanjutnya adalah mengorganisasikan atau mengelompokkan data untuk tujuan penelaahan mulai kumpulkan data mentah organisasikan data mentah apakah data sebaiknya disederhanakan siapkan distribusi frekuensi siapkan penyajian grafik hitung ukuran untuk menggambarkan karakteristik kelompok data rata-rata median modus varian simpangan baku analisis karakteristik yang sedang ditelaah selesai page 6 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 6disusun oleh endang dewi murrinie 4 menyajikan data dalam bentuk tabel grafik dan ukuran kuantitatif yang penting rata-rata median modus simpangan standar standar deviasi yang bertujuan agar lebih informatif dan mudah dipahami 5 menganalisis data menginterpretasikan hasil dari langkah-langkah sebelumnya untuk menarik kesimpulan secara statistik dengan menggunakan ukuran deskriptif yang telah dihitung page 9 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 9disusun oleh endang dewi murrinie xn nilai observasi terbesar x1 nilai observasi terkecil untuk memudahkan analisis pilih lebar kelas yang merupakan bilangan ganjil gasal seperti 1 3 5 7 dst atau jika mungkin ambil bilangan-bilangan kelipatan 5 seperti 5 10 15 20 dst.nya 3 batas kelas batas kelas adalah nilai batas dari tiap kelas dalam sebuah distribusi dan dipergunakan sebagai pedoman guna memasukkan angka-angka hasil observasi ke dalam kelas-kelas yang sesuai tiap kelas mempunyai dua batas kelas yaitu batas bawah kelas dan batas atas kelas untuk memudahkan pekerjaan dalam menentukan batas-batas kelas diambil ketentuan batas bawah kelas adalah bilangan kelipatan interval lebar kelas kelipatan i batas nyata adalah bilangan-bilangan yang membatasi kelasnya dengan kelas- kelas lainnya batas nyata diperoleh dari jumlah-jumlah bilangan batas yang berdekatan dibagi dua 4 titik tengah kelas tanda kelas titik tengah kelas atau tanda kelas diperoleh dari penjumlahan batas atas dan batas bawah suatu kelas dibagi dua untuk keperluan perhitungan-perhitungan statistika semua observasi yang termasuk dalam suatu kelas dipandang diwakili oleh titik tengah kelas tata kerja membuat tabel distribusi frekuensi data kuantitatif 1 menyiapkan blanko tabulasi sebagai berikut x jari-jari f ............................. ............................. ............................. ............................................. ............................................. ............................................. ................. ................. ................. x interval kelas jari-jari untuk menghitung frekuensi kelas f untuk menyalin frekuensi dalam bentuk jari-jari ke dalam bentuk angka 2 mencari angka pengamatan tertinggi dan terendah kemudian kurangkan beda antara angka tertinggi dan terendah disebut range atau jarak nilai 3 bagi range menjadi sejumlah kelas yang layak antara 5 dan 20 untuk memudahkan analisis pilih interval kelas gasal ganjil atau jika mungkin ambil bilangan kelipatan 5 4 masukkan angka-angka pengamatan dalam kolom jari-jari dengan turus jari-jari pada kelas-kelas yang sesuai 5 hitung jari-jari dalam kolom kedua tersebut dan salin dalam bentuk angka dalam kolom ketiga kolom f jumlah seluruh angka dalam kolom f harus sesuai dengan jumlah seluruh individu yang diamati 6 ganti blanko tabulasi dengan tabel distribusi frekuensi yang sebenarnya dalam tabel distribusi frekuensi kolom jari-jari tidak diperlukan page 10 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 10disusun oleh endang dewi murrinie contoh tabel 2.4 hasil padi kering per hektar dalam kuintal dari 100 desa 71 29 64 118 74 86 53 38 70 64 48 39 78 72 33 64 41 36 78 58 60 42 96 48 43 39 63 71 43 69 39 72 120 102 26 86 39 28 64 61 78 82 78 96 38 63 71 43 53 86 56 83 103 64 64 78 96 54 48 50 112 136 48 73 63 63 123 62 36 58 108 27 73 42 71 54 28 96 81 63 67 48 100 62 48 62 71 72 63 71 83 28 28 43 39 38 36 83 62 60 distribusi frekuensi relatif adalah ringkasan dalam bentuk tabel dari sekelompok data yang menunjukkan frekuensi relatif bagi setiap kelas distribusi frekuensi persentase adalah ringkasan dalam bentuk tabel dari sekelompok data yang menunjukkan frekuensi persentase bagi setiap kelas distribusi frekuensi kumulatif frekuensi kumulatif dari suatu kelas adalah frekuensi yang dihitung secara meningkat ke atas dari frekuensi kelas yang terbawah sampai kelas yang bersangkutan suatu tabel yang berisi frekuensi kumulatif disebut tabel frekuensi kumulatif frekuensi kumulatif dari kelas yang teratas harus sama dengan jumlah frekuensi dalam distribusi latihan suatu penelitian dilakukan terhadap 100 usaha kecil dan menengah salah satu karakteristik yang ditanyakan adalah besarnya modal yang dimiliki perusahaan-perusahaan tersebut kalau x adalah modal dalam jutaan rupiah maka nilai x adalah sebagai berikut 75 86 66 86 50 78 66 79 68 60 80 83 87 79 80 77 81 92 57 52 58 82 73 95 66 60 84 80 79 63 80 88 58 84 96 87 72 65 79 80 86 68 76 41 80 40 63 90 83 94 76 66 74 76 68 82 59 75 35 34 65 63 85 87 79 77 76 74 76 78 75 60 96 74 73 87 52 98 88 64 76 69 60 74 72 76 57 64 67 58 72 80 72 56 73 82 78 45 75 56 a berapa perusahaan yang memiliki modal antara rp 30 – rp 39 juta dan berapa yang memiliki modal antara rp 90 – rp 99 juta b berapa persen perusahaan yang modalnya antara rp 90 – rp 99 juta c berapa perusahaan yang modalnya kurang dari rp 79 juta page 11 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 11disusun oleh endang dewi murrinie iii penyajian grafik seringkali untuk keperluan analisis selain dibuat tabel frekuensi juga dibuat tabel frekuensi relatif dan kumulatif kemudian dibuat grafiknya grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupa angka mungkin juga dengan simbol-simbol yang biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang telah dibuat grafik berupa gambar pada umumnya lebih mudah diambil kesimpulannya secara cepat daripada tabel itulah sebabnya data seringkali disajikan dalam bentuk grafik bentuk grafik yang dapat digunakan antara lain adalah grafik batang histogram poligon frekuensi poligon a grafik batang histogram misal histogram grafik batang untuk data berikut tabel 3.1 distribusi frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi f frekuensi relatif prosentase frekuensi frekuensi kumulatif 30 – 39 2 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 20 70 – 79 32 80 – 89 25 90 – 99 7 jumlah 100 0 5 10 15 20 25 30 35 34.444.554.564.574.584.594.5 frekuensi gambar 3.1 histogram modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah contoh lain histogram grafik batang tunggal adalah untuk data di bawah ini tabel 3.2 produksi kacang tanah indonesia tahun 1993 – 1997 ribu ton no tahun produksi ribu ton 1 1993 638 7 2 1994 631 9 3 1995 760 1 4 1996 737 8 5 1997 688 3 page 13 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 13disusun oleh endang dewi murrinie 0 5 10 15 20 25 30 35 34.544.554.564.574.584.594.5 frekuensi gambar 3.4 poligon frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah c ogive ogive adalah grafik yang dibuat untuk distribusi frekuensi kumulatif sebagai contoh adalah frekuensi kumulatif untuk data yang berasal dari tabel 3.1 tabel 3.4 frekuensi kumulatif modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi frekuensi kumulatif kurang dari 40 2 2 kurang dari 50 3 5 kurang dari 60 11 16 kurang dari 70 20 36 kurang dari 80 32 68 kurang dari 90 25 93 kurang dari 100 7 100 jumlah 100 gambar 3.5 poligon frekuensi ogive modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah 0 20 40 60 80 100 120 405060708090100 frekuensi kumulatif page 14 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 14disusun oleh endang dewi murrinie iv pengukuran nilai sentral dan variasi a pengukuran nilai sentral ukuran pemusatan untuk mengadakan deskripsi sesuatu grup kelompok kita dapat mencari suatu bilangan yang dapat mewakili grup itu misal bilangan rata-rata nilai sentral adalah suatu bilangan yang menunjukkan tendensi menjadi pemusatan sentral dari bilangan- bilangan lainnya dalam distribusi bilangan-bilangan sentral yang sering digunakan adalah rata-rata hitung arithmetic mean atau sering disingkat mean saja median dan modus 7 rata-rata hitung mean rata-rata hitung yang selanjutnya disingkat sebagai rata-rata sering digunakan sebagai dasar perbandingan antara dua kelompok nilai data atau lebih mean diperoleh dari menjumlahkan seluruh nilai dan kemudian membaginya dengan jumlah individu yang mendukung jumlah tersebut notasi untuk mean populasi μ notasi untuk mean contoh x a mean data belum tersusun dalam tabel distribusi frekuensi x1 x2 x3 .. xn 1 n x σ xi n n i 1 b mean data tersusun dalam tabel distribusi frekuensi x1 f1 x2 f2 .. xk fk 1 n x σ xi fi f1 f2 .. fk n i 1 8 median median adalah bilangan yang membatasi separo frekuensi bagian bawah distribusi dengan separo bagian atasnya untuk menetapkan bilangan median data harus disusun terlebih dahulu menjadi array atau tabel distribusi frekuensi median untuk data tersusun dalam tabel distribusi frekuensi 1 2 ft – fsm me bb i fm dimana me median bb batas bawah kelas median kelas dimana frekuensi ke ½ n terletak ft frekuensi total page 15 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 15disusun oleh endang dewi murrinie fsm total frekuensi kelas-kelas sebelum kelas median fm frekuensi kelas median i lebar interval selang kelas 9 modus modus adalah suatu nilai atau suatu golongan gejala yang paling banyak terjadi paling besar frekuensinya kadang-kadang juga dikatakan bahwa modus adalah nilai atau kelas yang paling populer modus untuk data tersusun dalam tabel distribusi frekuensi a mo bb i a b dimana mo modus mode bb batas bawah kelas modus kelas dengan frekuensi terbesar a fm – fbm selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya b fm – fsm selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i lebar interval selang kelas 4 kedudukan mean median dan modus kedudukan tiga tendensi sentral sangat tergantung pada bentuk distribusi dalam praktek pada umumnya akan dijumpai tiga kemungkinan bentuk distribusi yaitu a bentuk distribusi normal - kurvanya menyerupai bentuk genta - kedudukan dari mean median dan modus bersekutu atau x me mo b bentuk distribusi juling positif - kurva hampir menyerupai genta dengan ekor di sebelah kanan - kedudukan mode di bawah puncak kurva median terletak di sebelah kanannya dan mean terletak di sebelah kanannya lagi atau mo me x c bentuk distribusi juling negatif - kurva menyerupai genta dengan ekor di sebelah kiri - mode terletak di bawah kiri dari puncak median di sebelah kirinya dan mean terletak paling kiri atau mo me x page 16 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 16disusun oleh endang dewi murrinie 0 20 40 60 80 100 0246 east gambar 4.1 grafik bentuk normal 0 20 40 60 80 100 0510 east gambar 4.2 grafik bentuk juling positif 0 20 40 60 80 100 0246 east gambar 4.3 grafik bentuk juling negatif 5 persentil desil dan kuartil dalam seluruh distribusi akan ada 100 persentil dan diberi simbul p1 p2 p3 .. p100 persentil ini sebagaimana juga tendensi sentral merupakan suatu bilangan atau nilai persentil yang ke-n atau pn adalah suatu nilai bilangan yang membatasi n frekuensi bagian bawah distribusi dari frekuensi sisanya jadi misalnya p25 adalah suatu bilangan nilai yang membatasi 25 frekuensi bagian bawah distribusi dari 75 frekuensi bagian atas distribusi misal akan dicari p25 distribusi tabel 4.1 di bawah ini tabel 4.1 distribusi frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi 30 – 39 2 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 20 70 – 79 32 80 – 89 25 90 – 99 7 jumlah 100 page 17 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 17disusun oleh endang dewi murrinie 1 kita tetapkan berapa 25 n dalam hal ini 25 n 25 100 100 25 2 sampai modal 59 5 juta rupiah telah terisi 16 perusahaan diperlukan tambahan 9 perusahaan yang harus diambil dari kelas 60 – 69 juta rupiah yang beranggotakan 20 perusahaan 3 karena lebar kelas 60 – 69 sama dengan 10 maka 9 perusahaan yang diperlukan itu akan menduduki modal 9 20 10 4 5 4 jadi p25 59 5 4 5 64 bilangan modal 63 5 ini membatasi 25 perusahaan yang mempunyai modal 29 5 juta rupiah sampai 63 5 juta rupiah dengan 75 perusahaan yang mempunyai modal di atas 63 5 juta rupiah desil adalah persentil yang ke-puluhan karena itu d1 p10 d4 p40 atau secara umum dn p n 10 dengan dasar pengertian yang sama kita dapat menangkap arti kuartil k1 p25 k2 p50 d5 me dan k3 p75 b pengukuran variasi seperti diketahui bahwa salah satu landasan pokok dari statistika adalah landasan variasi oleh karena itu karakteristik suatu gejala tidaklah cukup bila hanya dilihat dari tendensi sentralnya saja keadaan variasinya juga harus diteliti misalnya saja diketahui bahwa rata-rata mean nilai ujian antara dua kelompok mahasiswa adalah sama informasi ini sama sekali kurang mencukupi tanpa mengetahui bagaimana variasi nilai ujian dua kelompok tersebut misal nilai ujian kelompok a 60 65 50 60 65 60 kelompok b 30 90 50 70 60 60 rata-rata nilai kelompok a 360 6 60 rata-rata nilai kelompok b 360 6 60 bila dilihat dari rata-ratanya maka kedua kelompok tersebut mempunyai nilai yang sama tetapi bila dilihat variasinya maka kelompok a lebih homogen dibandingkan dengan kelompok b makin besar variasi sesuatu gejala makin jauh gejala itu dari keadaan homogen sebab besar kecilnya variasi juga mencerminkan besar kecilnya homogenitas istilah- istilah variasi variabilita dan dispersi dalam statistika mempunyai arti yang sama yaitu keadaan penyebaran nilai-nilai dari tendensi sentralnya beberapa pengukuran variasi akan di bahas di bawah ini 1 range jarak antara nilai tertinggi dengan nilai terendah disebut range misal kelompok a 60 65 50 60 65 60 kelompok b 30 90 50 70 60 60 rata-rata nilai kelompok a 360 6 60 rata-rata nilai kelompok b 360 6 60 page 18 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 18disusun oleh endang dewi murrinie range nilai kelompok a 65 – 50 15 range nilai kelompok b 90 – 30 60 apabila ada dua kelompok dengan nilai rata-rata sama dimana range kelompok i 15 dan range kelompok ii 60 maka kita dapat mendiskripsi bahwa kelompok ii variasinya lebih besar daripada kelompok i atau dikatakan bahwa kelompok i lebih homogen dibandingkan kelompok ii 2 mean deviasi deviasi simpangan adalah penyimpangan suatu nilai dari mean rata-rata kelompoknya mean deviasi atau rata-rata deviasi atau rata-rata simpangan adalah rata-rata mean dari harga mutlak semua deviasi simpangan nilai-nilai individual untuk mencari mean deviasi harus dicari terlebih dahulu mean rata-ratanya lebih dahulu kemudian ditentukan berapa besar penyimpangan tiap-tiap nilai terhadap mean tersebut misal seorang siswa mempunyai iq 110 sedangkan mean rata-rata iq 100 maka deviasi iq orang tersebut adalah 110 – 100 10 sedangkan jika orang lain dalam kelompok tersebut mempunyai iq 85 maka deviasi iq orang tersebut adalah 85 – 100 − 15 deviasi yang bertanda plus menunjukkan deviasi di atas mean sedang yang bertanda minus menunjukkan deviasi di bawah mean tetapi dalam perhitungan mean deviasi ini tanda plus dan minus ditiadakan sebab yang dipakai hanya deviasi dalam harga mutlak misal data pengamatan x1 x2 x3 .. xn memiliki rata-rata x maka deviasi nilai-nilai pengamatan tersebut dari rata-rata meannya adalah x1 – x x2 – x .. xn – x 1 n mean deviasi dx σ xi – x n i 1 contoh kelompok a 60 65 50 60 65 60 mean 360 6 60 mean deviasi dx 1 6 60-60 65-60 50-60 60-60 65-60 60-60 1 6 0 5 -10 0 5 0 1 6 20 3 33 sedangkan mean deviasi dari data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut _ k _ dx 1 σ fi xi – x n i 1 dimana fi frekuensi dari kelas ke-i k jumlah kelas _ page 19 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 19disusun oleh endang dewi murrinie xi – x harga mutlak deviasi kelas ke-i contoh tabel 4.2 distribusi frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi titik tengah kelas _ xi – x _ f xi – x 30 – 39 2 34 5 38 40 – 49 3 44 5 28 50 – 59 11 54 5 18 60 – 69 20 64 5 8 70 – 79 32 74 5 2 80 – 89 25 84 5 12 90 – 99 7 94 5 22 jumlah 100 x1 f1 x2 f2 .. xk fk 1 n x σ xi f1 f2 .. fk n i 1 3 standar deviasi simpangan baku standar deviasi hampir sama dengan mean deviasi bila pada mean deviasi dipakai tanda mutlaknya maka pada standar deviasi semua deviasinya dikuadratkan kemudian dijumlahkan dan akhirnya ditarik akar pangkat duanya a standar deviasi untuk data belum tersusun dalam tabel distribusi frekuensi 1 n s σ xi – x 2 n i 1 bila standar deviasi dikuadratkan akan didapatkan besaran yang disebut varians s2 1 n s2 σ xi – x 2 n i 1 b standar deviasi untuk data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi k _ s 1 σ fi xi – x 2 n i 1 page 20 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 20disusun oleh endang dewi murrinie varians data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi k _ s2 1 σ fi xi – x 2 n i 1 rumus lain yang juga dapat digunakan untuk mencari standar deviasi adalah a data belum tersusun dalam distribusi frekuensi σ xi2 σxi s − 2 n n b data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi σ fxi2 σfxi s − 2 n n contoh 1 data belum tersusun dalam tabel distribusi frekuensi iq dari 10 siswa sebuah smp berikut ini 113 102 95 103 113 97 102 110 101 109 2 data tersusun dalam tabel distribusi frekuensi tabel 4.3 distribusi frekuensi modal dari 100 perusahaan dalam jutaan rupiah kelas frekuensi titik tengah kelas 30 – 39 2 34 5 40 – 49 3 44 5 50 – 59 11 54 5 60 – 69 20 64 5 70 – 79 32 74 5 80 – 89 25 84 5 90 – 99 7 94 5 jumlah 100 4 arti standar deviasi dalam hampir semua analisis statistika terhadap hasil-hasil penelitian standar deviasi merupakan salah satu pengukuran variasi yang penting jika yang digunakan untuk mendiskripsikan tendensi sentralnya adalah mean maka standar deviasi digunakan untuk mendiskripsikan variasi standar deviasi membagi range menjadi beberapa bagian yang sama lebarnya pembagian pertama dimulai dari mean distribusi kemudian membentang ke atas dan ke bawah dengan tanda-tanda plus dan minus page 21 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 21disusun oleh endang dewi murrinie 34 48 50 2 14 34 _ - 4s - 3s - 2s - 1s x 1s 2s 3s 4s gambar 4.4 grafik distribusi normal dalam penelitian kemungkinan dijumpai bentuk distribusi normal tersebut jika suatu distribusi berbentuk normal maka banyaknya individu yang mendapatkan nilai - dari mean sampai 1 s kira-kira ada 34 - dari mean sampai 2 s kira-kira ada 48 - dari mean sampai 3 s kira-kira ada 50 persentase adalah pembulatan demikian juga - dari mean sampai -1 s kira-kira ada 34 - dari mean sampai -2 s kira-kira ada 48 - dari mean sampai -3 s kira-kira ada 50 atau tepatnya - dari mean sampai -1 s 34 13 - dari mean sampai -2 s 47 72 - dari mean sampai -3 s 49 87 jika kita hitung sebelah menyebelah dari mean hasilnya sebagai berikut - dari -1 s sampai 1 s 68 - dari -2 s sampai 2 s 96 - dari -3 s sampai 3 s 100 page 22 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 22disusun oleh endang dewi murrinie v teori probabilitas dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita tidak mengetahui dengan pasti tentang terjadinya suatu kejadian peristiwa apalagi kalau kejadian tersebut berhubungan dengan sesuatu di masa yang akan datang pertanyaan berikut ini adalah contoh mengenai kejadian- kejadian yang tidak dapat dijawab dengan pasti - kalau kita melempar sebuah mata uang logam ke atas gambar apakah yang akan keluar sisi muka atau belakang - kalau kita mengambil satu kartu dari satu set kartu bridge apakah kita akan memperoleh as - apakah di masa mendatang hasil penjualan akan naik - apakah produksi padi akan naik tahun ini untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas kita akan membahas apa yang disebut probabilitas a pengertian probabilitas kata probabilitas sering disebut juga dengan istilah lain seperti peluang dan kemungkinan secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi secara lengkap probablitas didefinisikan sebagai suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak dalam mempelajari probabilitas ada tiga kata kunci yang harus diketahui yaitu eksperimen hasil outcome dan kejadian atau peristiwa event sebagai contoh sebuah eksperimen dilakukan dengan menanyakan kepada 50 orang petani apakah mereka menggunakan pupuk majemuk atau tidak dari eksperimen ini akan terdapat beberapa kemungkinan hasil misalnya kemungkinan hasil pertama adalah sebanyak 20 orang akan menggunakan dan sisanya tidak menggunakan kemungkinan lain adalah bahwa 35 orang akan menggunakan sedang sisanya tidak menggunakan contoh lain dari eksperimen adalah pelemparan sebuah koin hasil outcome dari pelemparan sebuah koin tersebut adalah muka atau belakang kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian event probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal seperti 0 50 0 25 atau 0 70 atau bilangan pecahan seperti 5 10 25 100 atau 70 100 nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1 semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0 semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi pendekatan perhitungan probabilitas ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang bersifat objektif dan subjektif probabilitas objektif dibagi menjadi dua yaitu pendekatan klasik dan pendekatan frekuensi relatif 10 pendekatan klasik perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan peluang yang sama pada pendekatan ini harus diketahui terlebih dahulu seluruh kejadian yang akan muncul yang dalam praktek sulit untuk dilaksanakan berikut diberikan gambaran untuk memudahkan pemahaman suatu kejadian a yang dapat terjadi sebanyak x cara dari seluruh n cara misalnya ada n barang x rusak n – x tidak rusak kalau kita mengambil suatu barang secara acak random page 23 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 23disusun oleh endang dewi murrinie berapa probabilitasnya bahwa barang yang diambil tersebut rusak atau berapa p a a barang yang rusak merupakan suatu kejadian event probabilitas bahwa a akan terjadi dapat dihitung sebagai berikut x a p a n p a ≥ 0 sebab x ≥ 0 n 0 n – x p ā n n x n ─ n x 1 ─ n b p ā 1 – p a dimana ā bukan a bukan barang rusak ā komplemen a 0 jika x 0 maka p a 0 tidak ada barang rusak n n jika x n maka p a ---- 1 semua barang rusak n jadi 0 ≤ p a ≤ 1 a sering disebut sukses dan ā sering disebut gagal artinya probabilitas terjadinya a yaitu p a nilainya paling kecil 0 dan paling besar 1 contoh seorang ppl mengatakan bahwa dari 100 petani binaannya ada 25 orang yang belum menerapkan pemupukan berimbang jika kita bertemu dengan salah seorang petani binaan ppl tersebut berapa probabilitasnya bahwa petani tersebut termasuk dalam kelompok yang belum menerapkan pemupukan berimbang diketahui bahwa n 100 dan x 25 jika a adalah petani yang belum menerapkan pemupukan berimbang maka 25 p a 0 25 100 jadi probabilitas petani yang kita temui tersebut adalah petani yang belum menerapkan pemupukan berimbang 0 25 11 konsep frekuensi relatif pendekatan yang mutakhir adalah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relatif perlu diketahui bahwa besarnya nilai yang diambil oleh suatu variabel juga merupakan kejadian artinya probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut yang secara teoritis berlaku untuk nilai n yang besar sekali tidak terhingga misalnya suatu eksperimen penelitian dengan sampel yang besar di dalam praktek frekuensi relatif bisa digunakan untuk memperkirakan nilai probabilitas yang dapat dituliskan dalam rumus berikut page 24 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 24disusun oleh endang dewi murrinie jumlah frekuensi terjadinya kejadian probabilitas terjadinya suatu kejadian jumlah observasi probabilitas subjektif probabilitas subjektif didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan jika tidak ada pengamatan data sebagai dasar untuk perhitungan probabilitas maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subjektif hal ini biasanya dalam bentuk pendapat yang dinyatakan dalam suatu nilai probabilitas kejadian peristiwa dan notasi himpunan kalau suatu eksperimen dilakukan dengan melemparkan sebuah mata uang logam sebanyak dua kali maka hasil eksperimen adalah salah satu dari empat kemungkinan hasil berikut mm mb bm bb 1 2 3 4 hasil yang berbeda-beda dari suatu eksperimen disebut titik sampel dalam contoh di atas ada 4 hasil yang berbeda jadi ada 4 titik sampel sedangkan himpunan dari seluruh kemungkinan hasil disebut ruang sampel kalau dua buah dadu dilempar akan diperoleh ruang sampel sebagai berikut tabel 5.1 ruang sampel untuk eksperimen pelemparan dadu dadu i dadu ii 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 ruang sampel suatu eksperimen mempunyai dua syarat berikut 1 dua hasil atau lebih tidak dapat terjadi secara bersamaan misalnya melempar mata uang satu kali hasilnya m atau b tidak bisa m b jika melempar mata uang dua kali hasilnya mm atau mb atau bm atau bb 2 harus terbagi habis exhaustive artinya ruang sampel harus memuat seluruh kemungkinan hasil tidak ada yang terlewat misalnya jika melempar mata uang satu kali maka ruang sampelnya s adalah m b jika melempar dadu satu kali maka s adalah 1 2 3 4 5 6 dan sebagainya jadi ruang sampel merupakan himpunan hasil eksperimen suatu himpunan set merupakan kumpulan yang lengkap atas elemen-elemen sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain misalnya kumpulan seluruh mahasiswa umk kumpulan seluruh varietas padi yang dihasilkan batan dan sebagainya elemen-elemen tersebut walaupun sejenis tetapi dapat dibeda-bedakan karakteristiknya berbeda di dalam statistika himpunan set disebut populasi dan himpunan bagian subset disebut sampel sample hasil eksperimen dapat berbeda-beda sehingga pada umumnya hasil eksperimen bersifat acak istilah variabel acak sering digunakan untuk perhitungan probabilitas terjadinya hasil suatu eksperimen karena hasil eksperimen sukar ditentukan dengan pasti sebelumnya atau merupakan proses acak maka variabelnya dikatakan variabel acak atau lebih singkatnya disebut variabel saja yang biasanya diberi simbul x page 25 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 25disusun oleh endang dewi murrinie variabel mempunyai pengertian kuantitatif artinya harus dinyatakan dengan angka- angka karena hasil eksperimen sering merupakan data kualitatif maka harus dilakukan penilaian kembali melalui angka-angka sebagai contoh kita melempar mata uang logam ke atas sebanyak satu kali bila keluar sisi muka kita beri nilai 1 dan kalau yang keluar sisi belakang diberi nilai 0 jadi x 1 0 kalau mata uang logam dilempar ke atas sebanyak 3 kali maka akan diperoleh ruang sampel s mmm mmb mbm bmm mbb bmb bbm bbb dengan 8 anggota n 8 kalau x jumlah sisi muka m untuk 3 kali lemparan tersebut maka untuk mmm  x 3 mmb  x 2 bmm  x 2 mbb  x 1 mbm  x 2 bmb  x 1 bbm  x 1 bbb  x 0 jadi x 0 1 2 3 hasil eksperimen dapat menghasilkan nilai x 0 yaitu bbb atau x 3 yaitu mmm dan sebagainya kalau disajikan dalam bentuk tabel frekuensi maka hasilnya sebagai berikut tabel 5.2 tabel frekuensi dari eksperimen tiga kali pelemparan mata uang x frekuensi f frekuensi relatif fr 0 1 2 3 1 3 3 1 1 8 3 8 3 8 1 8 kalau dicari probabilitas untuk setiap nilai variabel maka nilai seluruh probablitas tersebut bersama-sama dengan nilai variabel masing-masing dinamakan distribusi probabilitas dengan tabel dan grafik sebagaimana tertera di bawah ini tabel 5.3 distribusi probabilitas eksperimen tiga kali pelemparan mata uang x fr p x 0 1 2 3 1 8 0 125 3 8 0 375 3 8 0 375 1 8 0 125 1 1 00 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0123 p x gambar 5.1 grafik distribusi probabilitas eksperimen tiga kali pelemparan mata uang tugas buatlah tabel dan grafik distribusi probabilitas dari pelemparan dadu sebanyak dua kali page 26 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 26disusun oleh endang dewi murrinie vi distribusi probabilitas binomium pada pokok bahasan sebelumnya kita pelajari distribusi probabilitas yang bersifat umum pada bab ini dan berikutnya akan dipelajari distribusi probabilitas yang paling banyak dipakai dalam ilmu statistika yang terdiri dari distribusi untuk data diskrit dan kontinyu sebaran ini bukan berasal dari pengalaman empiris tetapi dari pertimbangan- pertimbangan teoritis sehingga dipakai istilah distribusi teoritis tiga buah distribusi teoritis yang akan dibahas adalah distribusi binomium dan distribusi poisson untuk data diskrit dan distribusi normal untuk data kontinyu a distribusi binomium dasar dari distribusi binomium adalah bernoulli trials atau percobaan bernoulli yaitu - suatu eksperimen atau observasi yang dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali dimana tiap pengulangan disebut trial - hanya ada dua hasil yang mungkin dalam setiap trial yaitu peristiwa a dan bukan a ac atau secara umum disebut peristiwa sukses dan bukan sukses gagal catatan pengertian sukses dan gagal tidak sukses disini tidak harus selalu untuk eksperimen yang menghasilkan dua kemungkinan saja tetapi hasilnya dikelompokkan menjadi dua dan disebut sukses bila hasilnya sesuai dengan yang dikehendaki oleh peneliti sedangkan tidak sukses untuk hasil-hasil yang lain - contoh pada pelemparan sebuah dadu peneliti ingin mengamati tertarik pada munculnya mata 1 dan 2 maka peristiwa sukses munculnya mata 1 dan 2 peristiwa tidak sukses munculnya mata 3 4 5 dan 6 - pengertian sukses dan tidak sukses ini juga tidak selalu sama dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari hasil eksperimen observasi yang menjadi perhatian pertama pembuat eksperimen disebut sebagai sukses meskipun bisa berarti bencana sifat-sifat bernoulli trials a tiap trial menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin yang disebut sebagai peristiwa sukses s dan tidak sukses t b untuk setiap trial probabilitas terjadinya sukses sama dan ditulis p s p sedangkan probabilitas tidak sukses atau p t q 1 – p sehingga p q 1 c trial-trial tersebut independent satu dengan yang lain berarti peluang akan sukses dan tidak sukses dalam suatu trial tidak berubah meskipun diperoleh informasi tentang hasil trial yang lain dalam distribusi binomium - kita lakukan bernoulli trials berulang-ulang sebanyak n kali - probabilitas sukses dalam tiap trial atau p s p dan probabilitas tidak sukses atau p t q 1 – p - misal dalam n kali trial tersebut terjadi sukses sebanyak x kali maka peristiwa tidak sukses terjadi sebanyak n – x kali - salah satu probabilitas terjadinya cara tersebut ppp … p qqq … q px q n-x page 29 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 29disusun oleh endang dewi murrinie 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 012345 probabilitas gambar 6.1 probabilitas ditemukan 0 sampai 5 produk rusak - rata-rata mean dari distribusi binomium tersebut μ n p 5 1 10 0 5 - varians s2 n p q 5 1 10 9 10 0 45 - standar deviasi simpangan baku s √ n p q √ 0 45 0 671 soal 1 bila kemungkinan melahirkan anak laki-laki dan anak perempuan adalah sama berapakah probabilitasnya suatu keluarga dengan 6 anak akan terdiri dari 0 1 … 6 anak laki-laki gambarkan dalam bentuk grafik serta hitung rata-rata varians dan simpangan bakunya 2 bila sekeping uang logam yang setimbang dilempar sebanyak 6 kali a berapakah probabilitasnya memperoleh 5 sisi muka dan b berapakah probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi muka b penyelarasan distribusi binomial pada distribusi frekuensi sampling distribusi binomial yang telah dibahas merupakan distribusi binomial teoritis pada perhitungan teoritis di atas nilai p selalu diketahui bila p tidak diketahui maka nilai p harus ditaksir secara eksperimental contoh angkatan udara mengadakan percobaan menembak suatu target sasaran tertentu dengan 5 pucuk meriam penangkis pesawat udara tiap kali penembakan selalu dilakukan oleh kelima pucuk meriam tersebut percobaan tembak ini dilakukan secara berturut-turut sebanyak 100 kali hasil percobaan sebagai berikut tabel 1 distribusi frekuensi dari nilai x jumlah target yang tertembak sebagai hasil eksperimental sebanyak 100 kali dengan 5 pucuk meriam x fi xfi 0 1 2 3 4 3 10 25 40 15 0 10 50 120 60 page 30 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 30disusun oleh endang dewi murrinie 5 7 35 jumlah 100 275 bila dipakai menembak berapa probabilitasnya sebuah meriam penangkis pesawat udara akan mengenai target dengan jitu jawab probabilitas p bagi sebuah meriam penangkis pesawat udara untuk dapat menembak dengan jitu suatu target tidak diketahui tetapi nilai p ini dapat diperoleh dari hasil percobaan tembak dengan meriam yang bersangkutan dalam jumlah yang cukup besar atau dari hasil penembakan target sampai beberapa kali dengan beberapa pucuk meriam distribusi frekuensi dari nilai x jumlah target yang tertembak yang aktual telah diberikan pada tabel di atas data tersebut dapat digunakan untuk menghitung nilai p yang kita perlukan diketahui n 5 rata-rata mean distribusi binomial μ n p 5 p rata-rata distribusi frekuensi eksperimental 5 σ xi fi i 0 275 x 2 75 n 100 jika μ x maka 5 p 2 75 p 0 55 dengan n 5 p 0 55 q 0 45 kita dapat menghitung distribusi binomial n p x n px q n-x untuk x 0 1 2 3 4 5 x sebagai berikut x frekuensi distribusi probabilitas binomial 0 1 2 3 4 5 3 10 25 40 15 7 0 01845 0 11277 0 27565 0 33691 0 20589 0 05031 c penyimpangan distribusi binomial distribusi hipergeometris bila sebuah populasi mempunyai n buah unsur terdiri dari a buah unsur pertama dan n – a buah unsur kedua dan bila n buah unsur akan diambil sekaligus maka peluang dalam n buah unsur tersebut akan terambil x unsur pertama adalah a n – a dimana n ukuran populasi x n – x n ukuran sampel p x a banyaknya unsur pertama dalam populasi n x banyaknya unsur pertama dalam sampel n page 31 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 31disusun oleh endang dewi murrinie mean dan varians distribusi hipergeometris a mean μ n p dimana p n n – n varians s2 n p 1 – p n – 1 standar deviasi simpangan baku s √s2 contoh sebuah peti yang berisi 50 buah apel diketahui bahwa 5 buah diantaranya telah busuk bila akan diambil 4 buah apel secara acak tanpa pengembalian berapa probabilitasnya untuk mendapatkan 0 1 2 3 4 buah apel busuk jawab n 50 a 5 n – a 45 n 4 x 0 1 2 3 4 5 45 5 45 0 4 5 – 0 0 45-4 4 p x 0 0 64696 50 50 4 50-4 4 p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 soal seorang nelayan telah menangkap 10 ekor ikan dan diantara kesepuluh ekor tersebut 3 ekor sebenarnya terlalu kecil untuk dapat diterima oleh koperasi perikanan laut meskipun demikian nelayan tersebut ingin mengadu untung dengan jalan memasukkan saja ketiga ekor ikan tersebut bersama-sama dengan ketujuh ekor lainnya bila pengawas ikan dari koperasi tersebut memilih secara acak 2 ekor ikan dari kesepuluh ikan nelayan tersebut berapa probabilitasnya pengawas ikan tersebut tidak akan memilih ikan yang terlalu kecil tersebut page 32 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 32disusun oleh endang dewi murrinie d distribusi poisson distribusi poisson diturunkan dari distribusi binomial yaitu jika parameter n ternyata besar sekali lebih besar dari 50 sedangkan p kecil sekali lebih kecil dari 0 1 bila kita menyamakan μ np maka harga distribusi poisson μx ℮−μ p x ℮ limit 1 1 n n x n∞ 2 71828.. x 0 1 2 .. 10 contoh 1 menurut pengalaman sebuah penerbitan rata-rata seorang dari 100 sarjana yang berdiam di kota-kota indonesia tertentu berlangganan jurnal terbitannya jika penerbit tersebut mengadakan sales promotion dengan jalan mengirimkan masing- masing 50 surat untuk berlangganan yang telah dibubuhi prangko kepada sarjana- sarjana yang berdiam di kota-kota yang bersangkutan berapa probabilitasnya penerbit tersebut akan menerima kembali surat permintaan untuk berlangganan sebanyak 0 1 2 3 4 5 dari masing-masing kota yang bersangkutan jawab n 50 p 1 100 μ n p 50 100 ½ 1 2 0 ℮−1 2 p 0 0 6065 0 1 2 1 ℮−1 2 p 1 0 3033 1 1 2 2 ℮−1 2 p 2 0 0758 2 1 2 3 ℮−1 2 p 3 0 01264 3 1 2 4 ℮−1 2 p 4 0 00158 4 page 41 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 41disusun oleh endang dewi murrinie x5 3 0 x10 4 0 x15 2 8 x20 3 8 tentukan selang kepercayaan 90 95 dan 99 untuk μ 2 penduga selang parameter proporsi pendugaan parameter proporsi p dapat dilakukan dengan menggunakan proporsi sampel x n a untuk n ≥ 30 dengan interval keyakinan 1 – α maka p x n – z α 2 √ x n 1 – x n ≤ p ≤ x n z α 2 √ x n 1 – x n 1 – α n n catatan x n adalah penduga p p contoh untuk n ≥ 30 dari contoh acak yang diambil dalam pemilihan ketua suatu organisasi dari 250 pemilih ternyata 150 orang memilih a dari contoh tersebut tentukan selang kepercayaan 0 90 dan 0 95 untuk proporsi pemilih a dalam populasi b untuk n 30 p x n – t α 2 db √ x n 1 – x n ≤ p ≤ x n t α 2 db √ x n 1 – x n 1 – α n n contoh dari suatu perusahaan akan diselidiki proporsi perokok pegawai pria guna keperluan tersebut diambil 25 orang pegawai pria dan ternyata 12 orang diantaranya adalah perokok dengan selang kepercayaan 0 95 dan 0 99 buatlah penduga selang untuk proporsi perokok pria pada perusahaan tersebut 3 penduga selang selisih perbedaan dua rata-rata perbedaan dua mean a untuk n ≥ 30 a.1 jika δ12 ≠ δ22 p x1– x2 – zα 2√ δ12 δ22 ≤ μ1 – μ2 ≤ x1– x2 z α 2 √ δ12 δ22 1 – α n1 n2 n1 n2 page 42 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 42disusun oleh endang dewi murrinie a.2 jika δ12 δ22 δ2 p x1– x2 – z α δ √ 1 1 ≤ μ1 – μ2 ≤ x1– x2 z α δ √ 1 1 1 – α n1 n2 n1 n2 contoh 1 dua metode mengajar akan dibandingkan efektivitasnya metode a diterapkan terhadap 40 murid sedangkan metode b diterapkan untuk 35 murid hasil akhir memberikan rata-rata evaluasi sebesar 7 0 dan 6 5 untuk metode a dan b berturut-turut jika ragam varian populasi diketahui sebesar 0 9 dan 0 8 berturut-turut tentukan selang kepercayaan 0 95 untuk selisih hasil rata-rata evaluasi metode a dan metode b 2 dua metode mengajar akan dibandingkan efektivitasnya metode a diterapkan terhadap 40 murid sedangkan metode b diterapkan untuk 35 murid hasil akhir memberikan rata-rata evaluasi sebesar 7 0 dan 6 5 untuk metode a dan b berturut-turut jika ragam varian kedua populasi diketahui sebesar 0 9 tentukan selang kepercayaan 0 95 untuk selisih hasil rata-rata evaluasi metode a dan metode b b untuk n 30 b.1 jika δ12 ≠ δ22 p x1– x2 – t α 2 n1 n2–2 √ δ12 δ22 ≤ μ1 – μ2 ≤ x1– x2 t α 2 n1 n2–2 √ δ12 δ22 1 – α n1 n2 n1 n2 dari tabel t a.2 jika δ12 δ22 δ2 p x1– x2 – t α 2 n1 n2–2 δ √1 1 ≤ μ1 – μ2 ≤ x1– x2 t α 2 n1 n2–2 δ √1 1 1 – α n1 n2 n1 n2 contoh kasus sama untuk n ≥ 30 dengan n1 15 dan n2 10 4 penduga selang selisih perbedaan dua proporsi a n ≥ 30 p p1–p2 – z α 2 √p1 1-p1 p2 1-p2 ≤p1 – p2≤ p1–p2 z α 2 √p1 1-p1 p2 1-p2 1 – α n1 n2 n1 n2 keterangan p1 penduga p1 x1 n1 p2 penduga p2 x2 n2 contoh page 43 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 43disusun oleh endang dewi murrinie suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui perbedaan proporsi perokok pria dan wanita dari contoh yang terdiri dari dua kelompok yaitu pria dan wanita ternyata dari 500 pria 200 diantaranya adalah perokok dan dari 500 wanita ternyata 50 diantaranya adalah perokok tentukan selang kepercayaan 95 untuk menduga selisih proporsi perokok pria dan wanita pada populasi tersebut b n 30 p p1–p2 – t α 2 n1 n2 – 2 √p1 1-p1 p2 1-p2 ≤ p1 – p2 ≤ n1 n2 p1–p2 t α 2 n1 n2 – 2 √p1 1-p1 p2 1-p2 1 – α n1 n2 contoh sama dengan kasus n ≥ 30 dengan n1 16 x1 4 dan n2 10 x2 2 page 47 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 47disusun oleh endang dewi murrinie uji 2 sisi daerah α 2 terima α 2 − ho daerah daerah tolak tolak uji 1 sisi kanan uji 1 sisi kiri daerah daerah terima α α terima ho − ho daerah daerah tolak tolak 4 langkah-langkah pengujian hipotesis a menentukan formulasi ho dan ha b menentukan alternatif pengujian uji 2 sisi uji 1 sisi kanan atau uji 1 sisi kiri dengan menggunakan level of significance tertentu c menentukan kriteria pengujian daerah terima dan daerah tolak dengan menggunakan tabel d mengadakan perhitungan dari sampel contoh dengan rumus formulasi yang digunakan e menarik kesimpulan pengujian menerima atau menolak ho e macam-macam pengujian hipotesis 1 pengujian hipotesis rata-rata 2 pengujian hipotesis proporsi 3 pengujian hipotesis beda dua rata-rata 4 pengujian hipotesis beda dua proporsi 1 pengujian hipotesis rata-rata mean langkah-langkah pengujiannya 1 menyusun formulasi ho dan ha a ho µ µ0 ha µ ≠ µ0 b ho µ µ0 ha µ µ0 c ho µ µ0 ha µ µ0 2 menentukan alternatif pengujian a bila formulasi ha µ ≠ µ maka digunakan uji 2 sisi b bila formulasi ha µ µ maka digunakan uji 1 sisi kanan page 48 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 48disusun oleh endang dewi murrinie c bila formulasi ha µ µ maka digunakan uji 1 sisi kiri dengan level of significance α tertentu 3 menentukan kriteria pengujian a bila n ≥ 30 digunakan tabel kurve normal uji 2 sisi daerah α 2 terima α 2 − µ0 daerah daerah tolak tolak ho diterima bila - z α 2 ≤ z hitung ≤ z α 2 ho ditolak bila z hitung z α 2 atau z hitung - z α 2 uji 1 sisi kanan uji 1 sisi kiri daerah daerah terima α α terima µ0 − µ0 daerah daerah tolak tolak ho diterima bila z hitung z α ho diterima bila z hitung z α ho ditolak bila z hitung z α ho ditolak bila z hitung z α b bila n 30 sama dengan n ≥ 30 hanya tabelnya digunakan tabel t uji 2 sisi daerah daerah tolak terima daerah tolak − µ0 – t α 2 db t α 2 db – t α 2 n-1 t α 2 n-1 page 49 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 49disusun oleh endang dewi murrinie ho diterima bila - t α 2 db ≤ t hitung ≤ t α 2 db ho ditolak bila t hitung t α 2 db atau t hitung - t α 2 db uji 1 sisi kanan uji 1 sisi kiri daerah daerah daerah daerah terima tolak tolak terima µ0 t α db − t α db µ0 ho diterima bila t hitung t α db ho diterima bila t hitung t α db ho ditolak bila t hitung t α db ho ditolak bila t hitung - t α db 4 melakukan perhitungan dari sampel a n ≥ 30 nilai z dihitung dengan rumus x - µ0 z hitung s √n b n 30 x - µ0 t hitung s √n 5 menarik kesimpulan menerima menolak ho bila z hitung t hitung masuk daerah terima ho maka ho diterima ha ditolak bila z hitung t hitung masuk daerah tolak ho maka ho ditolak ha diterima contoh a n ≥ 30 wawancara terhadap 40 mahasiswa didapatkan hasil bahwa biaya makan mahasiswa rata-rata per bulan rp 500.250 - dengan simpangan baku sebesar 55.000 dari informasi sebelumnya didapatkan bahwa biaya makan mahasiswa per bulan tersebar secara normal dengan rata-rata rp 475.000 - dengan taraf nyata 5 ujilah apakah biaya makan mahasiswa rata-rata per bulan lebih tinggi daripada sebelumnya n 30 wawancara terhadap 20 mahasiswa didapatkan hasil bahwa biaya makan mahasiswa rata-rata per bulan rp 500.250 - dengan simpangan baku sebesar 55.000 dari informasi sebelumnya didapatkan bahwa biaya makan mahasiswa per bulan tersebar secara normal dengan rata-rata rp 475.000 - dengan taraf nyata 5 ujilah apakah biaya makan mahasiswa rata-rata per bulan tidak sama dengan sebelumnya b n 30 pabrik pupuk a menyatakan bahwa produk pupuk n yang dihasilkannya mempunyai kadar n sebesar 40 guna menguji pernyataan tersebut dilakukan page 50 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 50disusun oleh endang dewi murrinie pengujian terhadap 9 sampel pupuk n dari pabrik tersebut hasil analisis kadar n dalam dari 9 sampel tersebut adalah 36 38 40 41 39 37 35 35 34 bagaimana kesimpulan dari pengujian tersebut gunakan α 5 2 pengujian hipotesis proporsi proporsi adalah perbandingan dalam populasi persentase unit-unit yang bersifat tertentu dari suatu populasi langkah-langkah pengujian 1 menentukan formulasi ho dan ha a ho p p0 ha p ≠ p0 b ho p p0 ha p p0 c ho p p0 ha p p0 2 menentukan alternatif pengujian uji 2 sisi uji 1 sisi kanan atau uji 1 sisi kiri 3 menentukan kriteria pengujian menentukan daerah terima dan daerah tolak dengan α tertentu sesuai dengan alternatif pengujian langkah kedua dan sesuai dengan jumlah sampel 4 melakukan perhitungan berdasarkan sampel a n ≥ 30 b n 30 x n - p0 x n - p0 z hitung t hitung √p0 1-p0 n √p0 1-p0 n 5 menarik kesimpulan menerima atau menolak ho berdasarkan perhitungan langkah keempat contoh pernyataan resmi dari suatu kabupaten menyebutkan bahwa prosentase serangan wereng di daerah tersebut sebesar 65 sementara itu salah satu kecamatan di kabupaten tersebut diketahui bahwa semua petani di wilayah kecamatan tersebut telah menerapkan pengendalian hama terpadu untuk mengendalikan wereng guna menguji pernyataan di atas diambil sampel 300 petani dari kecamatan yang telah menerapkan pengendalian hama terpadu tersebut dan ternyata 170 orang diantaranya pertanaman padinya terserang wereng apakah pernyataan resmi dari kabupaten tersebut juga berlaku di kecamatan tersebut gunakan α 0 01 n 30 pernyataan resmi dari suatu kabupaten menyebutkan bahwa prosentase serangan wereng di daerah tersebut sebesar 65 sementara itu salah satu kecamatan di kabupaten tersebut diketahui bahwa semua petani di wilayah kecamatan tersebut telah menerapkan pengendalian hama terpadu untuk mengendalikan wereng guna menguji pernyataan di atas diambil sampel 25 petani dari kecamatan yang telah menerapkan pengendalian hama terpadu tersebut dan ternyata 11 orang diantaranya pertanaman padinya terserang wereng apakah pernyataan resmi dari kabupaten tersebut juga berlaku di kecamatan tersebut gunakan α 0 05 page 51 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 51disusun oleh endang dewi murrinie 3 pengujian hipotesis beda dua rata-rata untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dibedakan menjadi dua macam yaitu untuk data yang tidak berpasangan dan untuk data berpasangan a data tidak berpasangan pada data tidak berpasangan ada dua uji yang bisa dilakukan yaitu 1 diasumsikan δ12 ≠ δ22 varian keragaman populasi i ≠ populasi ii 2 diasumsikan δ12 δ22 varian keragaman populasi i populasi ii bila dua populasi akan diuji beda rata-ratanya maka masing-masing sampel yang diambil dihitung lebih dahulu rata-rata dan simpangan bakunya sebagai berikut populasi i populasi ii rata-rata populasi i µ1 rata-rata populasi ii µ2 simpangan baku pop.i σ1 simpangan baku pop.ii σ2 sampel populasi i sampel populasi ii - jumlah n1 - jumlah n2 - rata-rata x - rata-rata y - simpangan baku sx - simpangan baku sy xi yi x1 y1 x2 y2 xn1 yn2 n1 n2 jumlah ∑ xi jumlah ∑ yi i 1 i 1 n1 n2 ∑ xi ∑ yi rata-rata i 1 rata-rata i 1 x n1 y n2 ∑ xi – x 2 ∑ yi – y 2 simpangan baku n1 – 1 simpangan baku n2 – 1 sx sy cara pengujian untuk sampel besar 1 menentukan formulasi ho dan ha a ho µ1 µ2 atau µ1 – µ2 0 ha µ1 ≠ µ2 atau µ1 – µ2 ≠ 0 b ho µ1 µ2 ha µ1 µ2 c ho µ1 µ2 ha µ1 µ2 2 menentukan alternatif pengujian dengan menggunakan α tertentu - formulasi a uji 2 sisi - formulasi b uji 1 sisi kanan - formulasi c uji 1 sisi kiri page 52 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 52disusun oleh endang dewi murrinie 3 menentukan kriteria pengujian uji 2 sisi daerah α 2 terima α 2 − ho daerah daerah tolak tolak ho diterima bila - z α 2 ≤ z hitung ≤ z α 2 ho ditolak bila z hitung z α 2 atau z hitung - z α 2 uji 1 sisi kanan uji 1 sisi kiri daerah daerah terima α α terima ho − ho daerah daerah tolak tolak ho diterima bila z hitung z α ho diterima bila z hitung z α ho ditolak bila z hitung z α ho ditolak bila z hitung z α 4 melakukan perhitungan dari sampel ada 2 asumsi 1 bila diasumsikan δ12 ≠ δ22 varian keragaman populasi i ≠ populasi ii gunakan formulasi x1 – x2 – µ1 – µ2 z hitung karena µ1 µ2 maka µ1 – µ2 0 σ12 σ22 n1 n2 sehingga x1 – x2 z hitung apabila varian kedua populasi σ12 dan σ22 σ12 σ22 tidak diketahui gunakan penduganya yaitu s12 dan s22 n1 n2 sehingga x1 – x2 z hitung s12 s22 n1 n2 2 bila diasumsikan δ12 δ22 varian keragaman populasi i populasi ii page 53 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 53disusun oleh endang dewi murrinie gunakan x1 – x2 z hitung dimana 1 1 n1 – 1 s12 n2 – 1 s22 sp sp n1 n2 n1 n2 – 2 5 menarik kesimpulan menerima atau menolak ho contoh penelitian dilakukan oleh budiyati et al 2007 untuk mengetahui tingkat kerusakan dua varietas anggur yang diberi pengawet larutan aloe vera l varietas pertama adalah muscato d’adda dan varietas kedua adalah ms 23-7 untuk tujuan tersebut diambil masing-masing 50 buah anggur dari varietas i dan ii yang telah diberi perlakuan larutan aloe vera l hasil pengamatan tiga minggu setelah perlakuan menunjukkan bahwa rata-rata kerusakan varietas i sebesar 63 0 dan varietas ii sebesar 50 9 dari pengalaman penelitian sebelumnya diketahui bahwa simpangan baku kerusakan untuk populasi i sebesar 3 34 dan populasi ii sebesar 9 68 dengan menggunakan α 5 ujilah apakah tingkat kerusakan kedua varietas anggur yang diberi larutan aloe vera l tersebut nyata berbeda untuk sampel kecil langkah-langkah pengujian sama dengan sampel besar hanya rule of the test dengan menggunakan tabel t dengan db n1 n2 – 2 untuk asumsi δ12 δ22 dan n1t1 n2t2 untuk asumsi δ12 ≠ δ22 dimana db t1  t dengan db n1 – 1 n1 n2 t2  t dengan db n2 – 1 contoh dua varietas padi yang diasumsikan mempunyai varian berbeda δ12 ≠ δ22 akan diambil kesimpulan apakah ada perbedaan rata-rata gabah kering yang dihasilkan melalui pengujian hipotesis guna keperluan tersebut diambil sampel random sebanyak 6 petak untuk varietas a dan 8 petak untuk varietas b hasil pengamatan terhadap gabah kering ku ha dari sampel dua varietas padi tersebut adalah tabel 1 hasil pengamatan gabah kering ku ha dari varietas padi a dan b nomor sampel varietas a ku ha varietas b ku ha 1 56 2 48 0 2 56 7 48 4 3 59 3 49 1 4 48 8 47 6 5 58 9 46 1 6 48 6 44 5 7 46 1 8 46 2 bagaimanakah kesimpulan hasil pengujian hipotesis tersebut gunakan α 5 untuk data tidak berpasangan untuk mengetahui apakah varian kedua populasi sama identik atau tidak σ12 σ22 atau σ12 ≠ σ22 dilakukan uji hipotesis mengenai dua varian sebagai berikut page 54 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 54disusun oleh endang dewi murrinie populasi i populasi ii rata-rata populasi i µ1 rata-rata populasi ii µ2 varian pop.i σ21 varian pop.ii σ22 sampel populasi i sampel populasi ii - jumlah n1 - jumlah n2 - rata-rata x1 - rata-rata x2 - varian sampel i s21 - varian sampel ii s22 apakah σ12 σ22 atau σ12 ≠ σ22 populasi perlakuan rata-rata contoh varian contoh i x1 s12 ii x2 s22 dimana n n ∑ x1i – x1 ∑ x2i – x2 s12 i 1 s22 i 1 n1 – 1 n2 – 1 kalau kedua varian populasi sama identik homogen atau σ12 σ22 maka s12 dan s22 merupakan penduga untuk hal yang sama yaitu untuk σ12 dan σ22 dimana σ12 σ22 untuk uji tersebut uji 2 varian maka dihitung nilai f yang merupakan nisbah antara kedua varian dengan varian contoh yang lebih besar sebagai pembilang jadi misalnya s12 s22 maka f hitung s12 s22 bila s12 s22 maka f hitung s22 s12 kemudian bandingkan dengan nilai pada f tabel bila f hitung f tabel  maka σ12 σ22 ho diterima bila f hitung f tabel  maka σ12 ≠ σ22 keterangan nilai f tabel tergantung pada α derajad bebas db pembilang dan db penyebut misal s12 sebagai pembilang maka db pembilang n1 – 1 sedangkan db penyebut n2 – 1 demikian juga sebaliknya contoh mencari nilai f tabel misal α 5 0 05 dengan db pembilang 4 dan db penyebut 6 maka didapat nilai f tabel 4 53 sebagai contoh untuk soal data tidak berpasangan dengan sampel kecil n 30 di atas misal belum diketahui bahwa σ12 ≠ σ22 maka dilakukan uji hipotesis 2 varian sebagai berikut diketahui x 55 y 47 sx2 19 6 sy2 1 71 f hitung sx2 sy2 karena sx2 lebih besar daripada sy2 maka sx2 dijadikan sebagai pembilang 19.6 1 71 11 46 f tabel 5 5 7 3 97  keterangan α 5 db pembilang n1-1 6-1 5 db penyebut n2-1 8-1 7 karena f hitung f tabel maka kedua varian tidak identik σ12 ≠ σ22 page 55 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 55disusun oleh endang dewi murrinie b data berpasangan misal data sebelum dan setelah perlakuan untuk pengujian hipotesis dicari lebih dulu selisih pasangan masing-masing data sebagai berikut xi yi di xi – yi x1 y1 d1 x1 – y1 x2 y2 d2 x2 – y2 xn yn dn xn – yn ∑ di ∑ xi – yi ∑ xi – yi d n sd ∑ di – d 2 n – 1 langkah-langkah pengujian sama dengan untuk data tidak berpasangan hanya langkah ke 4 perhitungan dari sampel yang berbeda yaitu d – µ1 - µ2 d t hitung sd √n sd √n 4 pengujian hipotesis beda dua proporsi a untuk sampel besar 1 menentukan formulasi ho dan ha a ho p1 p2 ha p1 ≠ p2 b ho p1 p2 ha p1 p2 c ho p1 p2 ha p1 p2 2 menentukan alternatif pengujian dengan menggunakan α tertentu - formulasi a uji 2 sisi - formulasi b uji 1 sisi kanan - formulasi c uji 1 sisi kiri 3 menentukan kriteria pengujian uji 2 sisi daerah α 2 terima α 2 − ho daerah daerah tolak tolak ho diterima bila - z α 2 ≤ z hitung ≤ z α 2 ho ditolak bila z hitung z α 2 atau z hitung - z α 2 page 56 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 56disusun oleh endang dewi murrinie uji 1 sisi kanan uji 1 sisi kiri daerah daerah terima α α terima ho − ho daerah daerah tolak tolak ho diterima bila z hitung z α ho diterima bila z hitung z α ho ditolak bila z hitung z α ho ditolak bila z hitung z α 4 melakukan perhitungan x1 n1 – x2 n2 z hitung p1 1-p1 p2 1-p2 n1 n2 karena tidak meneliti populasi maka p ini lazimnya tidak diketahui sehingga p1 dan p2 harus diduga dulu karena pengujian dilakukan terhadap p1 p2 maka p1 p2 p dimana p merupakan gabungan proporsi populasi dan dirumuskan sebagai x1 x2 p sehingga rumusnya menjadi n1 n2 x1 n1 – x2 n2 z hitung √ p 1-p 1 n1 1 n2 5 menarik kesimpulan menerima atau menolak ho b untuk sampel kecil kriteria pengujian menggunakan tabel t dengan db n1 n2 – 2 dan z hitung diganti dengan t hitung dengan rumus sama ii regresi dan korelasi analisis mengenai hubungan antara dua variabel atau lebih membutuhkan data yang terdiri dari dua kelompok atau lebih hasil observasi atau pengukuran data demikian dapat diperoleh dari hasil observasi atau pengukuran di berbagai bidang kegiatan sehingga menghasilkan pasangan observasi atau pengukuran sebanyak n bila dua variabel yang diamati misal x dan y pasangan observasi tersebut dinyatakan sebagai xi yi dimana i 1 2 .. n sebagai contoh - variabel x adalah jumlah pupuk ku ha sedangkan variabel y merupakan hasil biji kering t ha - variabel x mungkin merupakan ukuran tinggi badan sedangkan variabel y adalah berat badan - variabel x adalah jumlah uang yang beredar sedangkan variabel y adalah indeks harga barang-barang konsumsi periode tertentu page 57 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 57disusun oleh endang dewi murrinie pada hakekatnya persoalan tentang hubungan antara variabel x dan y umumnya berkisar pada dua hal yaitu 1 regresi penentuan bentuk persamaan yang sesuai guna menduga meramal rata-rata y melalui x yang tertentu atau rata-rata x melalui y tertentu serta menduga kesalahan selisih peramalan tersebut 2 korelasi pengukuran tentang derajad keeratan hubungan antara variabel x dan y sebagai catatan bahwa variabel x bukan merupakan variabel random karena telah ditentukan oleh peneliti sebelum observasi eksperimen dimulai misal dosis pupuk populasi tanaman ha dan sebagainya sebaliknya variabel y merupakan variabel tidak bebas terikat misal hasil kedelai ha jumlah polong tanaman dan sebagainya 1 regresi linear jika pasangan observasi atau pasangan pengukuran xi yi di atas digambarkan pada kertas berskala hitung akan diperoleh serangkaian titik-titik koordinat yang menghubungkan kedua hasil observasi di atas penggambaran demikian disebut diagram pencar scatter diagram atau diagram titik dot diagram sebagai contoh misal kita ingin mengetahui apakah produksi suatu tanaman – padi misalnya – dipengaruhi oleh dosis pemupukan n sampai suatu tingkat pemupukan tertentu serta bagaimana bentuk hubungannya dalam hal ini yang harus dikerjakan pertama kali adalah melakukan ploting titik-titik yang menghubungkan antara dosis pupuk n dan produksi padi seperti gambar di bawah ini y hasil t ha 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0246 hasil t ha x dosis pupuk dalam ku ha gambar 1 diagram pencar hubungan hasil tanaman padi dengan dosis pupuk n dari gambar 1 terlihat adanya tendensi kecenderungan bahwa sampai suatu tingkat tertentu makin tinggi dosis pupuk n makin tinggi hasil tanaman tetapi kemudian akan menurun mengingat bahwa besarnya produksi y disini dipengaruhi oleh besarnya dosis pupuk n x dan bukan sebaliknya maka y disini berperan sebagai variabel tidak bebas terikat sedangkan x sebagai variabel bebas persoalan yang timbul adalah garis atau kurva mana yang cukup mewakili hubungan antara x dan y tersebut bila titik-titik dalam diagram pencar terletak dalam satu garis atau kurva tidak akan ada persoalan tapi bila titik-titik diagram pencar tidak terletak dalam satu garis akan timbul persoalan karena akan terdapat banyak garis atau kurva yang dapat mewakili diagram pencar tersebut page 58 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 58disusun oleh endang dewi murrinie 0 0.5 1 1.5 2 0510 a titik-titik terletak dalam satu garis 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 02468 b titik-titik tidak terletak dalam satu garis gambar 2 diagram pencar serta kemungkinan garis-garis penduganya dalam teori regresi maka garis yang paling mewakili populasi ialah garis yang dibuat sedemikian rupa sehingga total error kesalahan yang mungkin timbul dapat ditekan sekecil mungkin diantara berbagai metode yang digunakan untuk memperkecil kesalahan error metode jumlah kuadrat terkecil least square method hingga saat ini masih dianggap sebagai metode yang terbaik garis linear yang ditarik atau digambarkan melalui titik-titik koordinat gambar 2 dinamakan garis duga estimating line atau garis regresi regression line karena adanya variasi sampling maka nilai-nilai xi yi yang diobservasi diamati diukur tidak akan semuanya terletak pada garis duganya umumnya nilai-nilai sedemikian itu akan menyebar sekitar garis duganya gambar 2b garis regresi atau kurva regresi merupakan garis atau kurva yang menghubungkan rata-rata distribusi y dengan seluruh kemungkinan nilai-nilai x jika asumsi sedemikian itu dapat diterima maka hubungan yang akan diduga adalah μ y x a bx dimana μ y x rata-rata y dengan x tertentu sedangkan konstanta atau parameter a dan b masing-masing merupakan titik potong dan condong garis regresi terhadap sumbu x titik potong di atas merupakan nilai rata-rata y jika x 0 sedangkan condong garis regresi merupakan tingkat perubahan μ y x terhadap x yaitu perubahan rata-rata y terhadap perubahan per unit x persoalan yang penting ialah menggunakan data sampel sebesar n guna menduga konstanta atau parameter di atas sehingga dapat menentukan garis regresinya dengan sebaik-baiknya persamaan regresi populasi μ y x a bx tersebut dapat diduga dengan persamaan duga sebagai berikut ŷ a bx dimana ŷ a dan b masing-masing merupakan penduga bagi μ y x a dan b untuk menduga a dan b tersebut digunakan methode least square sebagai berikut page 59 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 59disusun oleh endang dewi murrinie n σ xi – x yi – y i 1 b n ………………………………………… 1 σ xi – x 2 i 1 atau n n n σ xiyi – σ xi σ yi i 1 i 1 i 1 b n n n ….…………………………………… 2 σ xi2 – σ xi 2 i 1 i 1n dan a y - bx contoh berikut ini adalah tabel jumlah pendapatan bulan dan pengeluaran bulan dalam ribuan rupiah dari 7 keluarga konsumen dari data tersebut akan dicari persamaan regresi jumlah pendapatan bulan dan jumlah pengeluaran bulan untuk memudahkan perhitungan tabel telah dilengkapi dengan komponen yang diperlukan untuk mencari persamaan regresi dengan menggunakan rumus 1 tabel 10.1 jumlah pendapatan minggu dan pengeluaran minggu dalam ribuan rupiah dari 7 keluarga no jumlah pendapatan ribu rupiah xi jumlah pengeluaran ribu rupiah yi xi – x yi – y xi – x 2 xi – x yi – y 1 2 3 4 5 6 7 100 200 300 400 500 600 700 40 45 50 65 70 70 80 - 300 - 200 - 100 0 100 200 300 - 20 - 15 - 10 5 10 10 20 90.000 40.000 10.000 0 10.000 40.000 90.000 6.000 3.000 1.000 0 1.000 2.000 6.000 jumlah rata- rata 2.800 400 x 420 60 y 0 0 280.000 19.000 persamaan regresi linear ŷ a bx dari hasil perhitungan seperti pada tabel di atas didapatkan x 400 y 60 n σ xi – x yi – y i 1 b n ………………………………………… 1 σ xi – x 2 i 1 19.000 280.000 0 068 a y – bx page 60 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 60disusun oleh endang dewi murrinie 60 – 0 068 400 32 80 sehingga persamaan regresi untuk data di atas ŷ 32 80 0 068x dari persamaan tersebut jumlah pengeluaran minggu untuk setiap tingkat pendapatan dapat dicari misal untuk x 150 maka ŷ 32 80 0 068 150 43 00 x 225 maka ŷ 32 80 0 068 225 48 10 garis regresinya dapat diterapkan melalui titik-titik yang diamati dengan cara menghubungkan titik-titik ŷ yang telah dihitung seperti di atas hasil penerapannya seperti gambar di bawah ini y pengeluaran minggu ribuan rupiah ŷ 32 80 0 068x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100200300400500600700 x pendapatan minggu ribuan rupiah 2 korelasi korelasi berarti hubungan timbal balik hubungan timbal balik ini acapkali menjadi pusat perhatian peneliti misal hubungan antara permintaan dan penawaran hubungan antara keadaan lingkungan dan sifat pribadi hubungan antara kemiskinan dengan tingkat kejahatan hubungan antara dosis pemupukan n dan tinggi tanaman kedelai hubungan antara tingkat serangan hama wereng dengan bobot tanaman padi jika ada korelasi antara dua gejala misal antara kemiskinan dan kejahatan biasanya orang segera menarik kesimpulan bahwa antara dua gejala itu terdapat hubungan sebab akibat kesimpulan semacam itu seringkali tidak benar sebab sungguhpun semua rangkaian sebab akibat mesti menunjukkan korelasi tidak semua korelasi menunjukkan sebab akibat misal antara tinggi badan dan berat badan terdapat korelasi yang meyakinkan akan tetapi tidak berarti bahwa berat badan menjadi sebab dari tinggi badan atau tinggi badan mengakibatkan berat badan dalam hal semacam ini harus diketahui apa tidak ada faktor lain yang menjadi sebab dari kedua gejala yang timbul bergandengan berkorelasi itu a arah korelasi jika dua gejala berjalan sejajar atau bergandengan tangan seperti tinggi badan dan berat badan korelasi antara dua gejala itu disebut positif kenaikan salah satu akan mengakibatkan kenaikan yang lain atau sebaliknya penurunan salah satu akan mengakibatkan penurunan yang lain sebaliknya jika berlawanan arah korelasinya disebut negatif kenaikan salah satu mengakibatkan penurunan yang lain dan sebaliknya misal banyaknya es terjual dengan banyaknya air hujan jika antara dua gejala tidak terdapat hubungan yang menentu positif ataupun negatif dua gejala tersebut disebut tidak berkorelasi misal hijaunya daun-daunan dengan banyaknya orang yang sakit tumor page 61 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 61disusun oleh endang dewi murrinie b koefisien korelasi ada beberapa orang yang pendek badannya tetapi berat badannya bukan main besarnya kekecualian semacam ini akan mengganggu besar kecilnya hubungan menekan tingginya korelasi antara dua gejala itu umumnya gejala- gejala sosial menunjukkan hubungan yang tidak sempurna semacam itu besar kecilnya korelasi selalu dinyatakan dalam angka yang disebut koefisien korelasi angka koefisien korelasi selalu bergerak antara 0 00 ± 1 00 - koefisien korelasi dari 0 00 sampai 1 menunjukkan korelasi positif - koefisien korelasi dari 0 00 sampai – 1 menunjukkan korelasi negatif c linearitas hubungan linearitas hubungan dapat dilihat dari peta korelasi di bawah ini gambar 3 menunjukkan korelasi yang linear segaris positif gambar 4 menunjukkan korelasi linear negatif gambar 5 menunjukkan korelasi non linear parabolik atau biasa disebut hubungan kulvilinear gambar 6 menunjukkan dua gejala tidak berkorelasi y y x x gb.3 korelasi linear gb 4 korelasi linear positif negatif y y x x gb 5 korelasi kulvilinear gb 6 tidak berkorelasi d rumus koefisien korelasi n n n n ∑ xiyi – ∑ xi ∑ yi i 1 i 1 i 1 r n n n n n ∑ xi2 – ∑ xi 2 n ∑ yi2 – ∑ yi 2 i 1 i 1 i 1 i 1 r koefisien korelasi n banyaknya sampel yang diteliti contoh . . … … … … … … … … . . . . . . . … … … … … … … … … … … . . … . … . … . … .…… ...…… … …. … … … … … … … … … … … … … … page 62 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 62disusun oleh endang dewi murrinie berikut ini adalah data hubungan antara jauh loncatan dengan tinggi loncatan dari 10 sampel atlit yang akan dicari koefisien korelasinya tabel telah dilengkapi dengan penghitungan yang diperlukan tabel 10.2 data jauh loncatan dan tinggi loncatan dari 10 sampel atlit no sampel jauh loncatan xi tinggi loncatan yi xi2 yi2 xiyi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2 6 8 6 8 6 4 6 0 5 9 5 7 5 7 5 5 5 0 190 190 186 184 182 180 180 182 178 178 51 84 46 24 46 24 40 96 36 00 34 81 32 49 32 49 30 25 25 00 36.100 36.100 34.596 33.856 33.124 32.400 32.400 33.124 31.684 31.684 1368 1292 1264 8 1177 6 1092 1062 1026 1037 4 979 0 890 jumlah 61 1830 376 32 335.068 11.188 8 n n n n ∑ xiyi – ∑ xi ∑ yi i 1 i 1 i 1 r n n n n n ∑ xi2 – ∑ xi 2 n ∑ yi2 – ∑ yi 2 i 1 i 1 i 1 i 1 10 11.188 8 – 61 1830 258 10 376 32 – 61 2 10 335.068 – 1830 2 √ 42 2 1780 0 941 e interpretasi koefisien korelasi interpretasi koefisien korelasi menurut ukuran konservatif adalah harga r interpretasi 0 80 – 1 00 0 60 – 0 80 0 40 – 0 60 0 20 – 0 40 0 00 – 0 20 tinggi cukup agak rendah rendah sangat rendah tidak berkorelasi jadi menurut interpretasi lama konservatif koefisien korelasi pada contoh soal di atas sebesar 0 941 disebut tinggi dan positif hubungan antara jauh loncatan dan tinggi loncatan positif dan sangat erat tetapi interpretasi seperti di atas saat ini sudah ditinggalkan interpretasi yang digunakan saat ini adalah interpretasi berdasarkan atas tabel nilai-nilai r koefisien korelasi sederhana yaitu jika harga r hitung lebih kecil dari r tabel  berarti tidak ada korelasi antara variabel x dan y jika harga r hitung sama atau melebihi r tabel  berarti ada korelasi antara variabel x dan y page 63 of 63 bahan kuliah statistika fp umk 63disusun oleh endang dewi murrinie harga r tabel tergantung pada n banyaknya sampel dan taraf kepercayaan pada contoh di atas r hitung 0 941 r tabel dengan n 10 taraf kepercayaan 5  r tabel 0 5760 berarti r hitung r tabel 5 sehingga kesimpulannya ada korelasi positif antara variabel x dan variabel y ada korelasi positif antara jauh loncatan dengan tinggi loncatan 63 of 63 displaying statistika utk mhs 1 .doc